Численное решение задачи Коши

Для дифференциальных уравнений 1-го порядка

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения довольно часто встречаются в различных прикладных задачах строительной механики, электротехники, исследовании разнообразных технологических процессов и поведения сложных инженерных систем. Характеристики соответствующих явлений, как правило, непрерывным образом зависят от времени и подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений с начальными условиями, то есть требуют решения задачи Коши. Подавляющее большинство возникающих на практике задач такого рода невозможно решить без использования вычислительной техники. Поэтому численные методы решения задачи Коши играют в инженерных и научно-технических расчетах особую роль.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной с начальным условием в точке :

                                                                                                    (5.1)

Из теории дифференциальных уравнений известно, что если  и  непрерывны в окрестности точки , то в этой окрестности существует, и единственное, решение задачи Коши (5.1).

На первом этапе численного решения отрезок  области непрерывного изменения аргумента заменяется набором дискретных точек , который называется сеткой. Сами точки  называются узлами сетки, а величина  - шагом сетки. Мы будем рассматривать такие сетки, у которых шаг постоянен, тогда

                                                                               (5.2)

Следующий этап в построении численного метода состоит в замене задачи Коши ее дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения  сеточной функции , играющие роль приближений к значениям решения задачи Коши в узлах сетки.

 

Метод Эйлера

Простейший дискретный аналог дифференциального уравнения (5.1) представляет собой уравнение

                     ,
приводящее к методу Эйлера. Вычисление очередного значения  осуществляется здесь по формуле

                     .                                                                    (5.3)

Геометрическая интерпретация метода Эйлера проиллюстрирована на рис.12. На каждом шаге вычислений строится касательная к интегральной кривой в точке , и за  принимается ордината точки ее пересечения с
вертикальной прямой . В результате неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией, называемой ломаной Эйлера.

Рис. 12

Реализация численного алгоритма на компьютере предполагает построение алгоритма, позволяющего вычислить решение поставленной дискретной задачи Коши. В данном случае (и во всех ниже рассматриваемых случаях) вычисления производятся по явной формуле - значение сеточной функции зависит только от предыдущих значений, и программирование алгоритма не вызовет особых затруднений. Такие методы называют явными. В неявных методах правая часть уравнения может зависеть от , и на каждом шаге возникает необходимость решения некоторого уравнения относительно . Примером здесь может служить неявный метод Эйлера, когда вычисления производят по формуле .

Метод Эйлера с уточнением

Приближенное решение задачи Коши методом Эйлера характеризуется очень медленной сходимостью (его погрешность убывает пропорционально лишь первой степени ). Это является серьезным препятствием для использования его на практике. Однако расчетные формулы можно подправить, чтобы увеличить точность вычислений. Рассмотрим следующую модификацию метода Эйлера. На первом этапе по формуле (5.3) вычисляется начальное приближение к , а затем корректируется по формулам:

                                                                  (5.4)

Метод приближенного решения задачи Коши по формулам (5.4) относится к методам класса прогноз-коррекция и иногда его называют методом Эйлера-Коши. Геометрическая иллюстрация этого метода представлена на рис.13. Если принять ломаную Эйлера в виде цепочки векторов, то значение сеточной функции по формулам (5.4) можно представить как полусумму двух последующих звеньев-векторов.

Рис.13

Как видно из рисунка, вычисленное значение гораздо находится ближе к графику искомой функции. Метод Эйлера-Коши имеет второй порядок точности, и доказательство этого факта можно найти в [1].

 

Методы Рунге-Кутты

Наиболее популярными среди классических явных одношаговых методов являются методы Рунге-Кутты. Рассмотренные выше методы можно рассматривать как частные случаи этого класса методов. Самым известным из методов Рунге-Кутты является метод четвертого порядка точности. Вычисления на каждом шаге здесь проводятся последовательно в четыре этапа. Сначала вычисляются вспомогательные коэффициенты, а затем они подставляются в основную формулу:

                                                                     (5.5)

Этот метод весьма прост и, как показывает практика, довольно эффективен в обычных расчетах.

Литература

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М., Высшая школа, 1994.

Приложение: Варианты контрольных работ.

Вариант № 1

 

1. Методом половинного деления и методом хорд определить один из корней уравнения     с точностью до e=0,0001

2. Методом Гаусса найти решение системы уравнений:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	-2	-1	0	1	2
y	24,43	12,86	7,02	7,74	14,60

4. Методами трапеций и Симпсона вычислить интеграл и сделать проверку:

5. Используя метод Эйлера 1^ого порядка, составить таблицу решения дифференциального уравнения  с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 2

 

1. Методом половинного деления и методом касательных определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,0001

2. Методом простых итераций найти решение системы уравнений с точностью e=0,00001:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	-3	-2	-1	0	3
y	5,24	8,42	9,51	8,21	-6,62

4. Методами модиф. прямоугольников и трапеций вычислить интеграл и сделать проверку:

5. Используя метод Эйлера-Коши, составить таблицу решения дифференциального уравнения  с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 3

 

1. Методом половинного деления и методом простых итераций определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,0001

2. Методом Зейделя найти решение системы уравнений с точностью e=0,00001:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	-2	-1	0	1	2
y	32,61	12,43	1,25	0,09	8,74

4. Методами “правых” прямоугольников и Симпсона вычислить интеграл и сделать проверку:

5. Используя метод Рунге-Кутта, составить таблицу решения дифференциального уравнения   с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 4

 

1. Методом половинного деления и методом хорд определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,00001

2. Методом простых итераций найти решение системы уравнений с точностью e=0,00001:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	-2	-1,5	-1	0	1
y	-0,03	-3,31	-5,08	-6,15	-3,27

4. Методами трапеций и “левых” прямоугольников вычислить интеграл и сделать проверку:

5. Используя метод Эйлера-Коши, составить таблицу решения дифференциального уравнения  с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 5

 

1. Методом половинного деления и методом касательных определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,0001

 

2. Методом Гаусса найти решение системы уравнений:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	0	1	2	3	4
y	0,08	-7,93	-12,14	-12,09	-8,12

4. Методами Симпсона и трапеций вычислить интеграл и сделать проверку:

                             

5. Используя метод Рунге-Кутта, составить таблицу решения дифференциального уравнения  с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 6

 

1. Методом половинного деления и методом простых итераций определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,0001

2. Методом Зейделя найти решение системы уравнений с точностью e=0,00001:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	-2	-1	0	1	2
y	5,95	-3,12	-5,98	-2,87	6,05

4. Методами “левых” прямоугольников и Симпсона вычислить интеграл и сделать проверку:

5. Используя метод Эйлера 1 ^ого  порядка, составить таблицу решения дифференциального уравнения  с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 7

 

1. Методом половинного деления и методом простых итераций определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,00001

2. Методом Гаусса найти решение системы уравнений:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	-1	0	0,5	1	2
y	-15,31	-6,84	-5,26	-5,34	-9,81

4. Методами трапеций и Симпсона вычислить интеграл и сделать проверку:

5. Используя метод Эйлера-Коши, составить таблицу решения дифференциального уравнения  с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 8

 

1. Методом половинного деления и методом касательных определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,0001

2. Методом Гаусса найти решение системы уравнений:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	-1	0	1	2	3
y	6,54	3,71	2,58	3,58	6,69

4. Методами Симпсона и трапеций вычислить интеграл и сделать проверку:                     

5. Используя метод Рунге-Кутта, составить таблицу решения дифференциального уравнения         с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 9

 

1. Методом половинного деления и методом простых итераций определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,0001

2. Методом Зейделя найти решение системы уравнений с точностью e=0,00001:

                             

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	0	1	2	3	4
y	-10,47	-7,29	-6,52	-7,36	-11,02

4. Методами “левых” прямоугольников и Симпсона вычислить интеграл и сделать проверку:

5. Используя метод Эйлера 1 ^ого  порядка, составить таблицу решения дифференциального уравнения  с начальным условием   и шагом  на отрезке

 

Вариант № 10

 

1. Методом половинного деления и методом хорд определить один из корней уравнения  с точностью до e=0,00001

2. Методом простых итераций найти решение системы уравнений с точностью e=0,00001:

                  

3. Подобрать по принципу наименьших квадратов для заданных значений X и Y квадратичную функцию:

x	-2	-1	0	1	2
y	15,76	6,88	1,67	0,96	3,57

4. Методами трапеций и “левых” прямоугольников вычислить интеграл и сделать проверку:

5. Используя метод Эйлера-Коши, составить таблицу решения дифференциального уравнения  с начальным условием   и шагом  на отрезке