Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод Якоби ( метод простой итерации )
Рассмотрим систему линейных уравнений (2.1). Пусть . Это позволяет выразить в каждом из уравнений и привести исходную систему уравнений к виду: , где . (2.4) Такую систему можно решить методом Якоби (методом простой итерации), строя последовательность приближений по следующему правилу: , где ; . (2.5) Идея решения системы (2.4) таким способом, очевидно, та же самая, что и для решения уравнений методом простой итерации с помощью формулы (1.6). По этой причине такой подход можно применять и для решения систем нелинейных уравнений. При решении систем уравнений итерационная последовательность представляет собой последовательность не чисел, а векторов N-мерного пространства. Очевидно, что и здесь эта последовательность может быть сходящейся или расходящейся. Этот вопрос решается на основании следующей теоремы о достаточном условии сходимости: Если для , (2.6) то итерационная последовательность (2.5) сходится к решению системы (2.1) при любом начальном приближении. Другими словами, матрица коэффициентов исходной системы уравнений должна быть матрицей с диагональным преобладанием. Пример. Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными и найдем ее решение методом Якоби, оставляя каждый раз при вычислениях два знака после запятой: ; преобразуем эту систему к виду (2.4) Возьмем в качестве начального приближения . Тогда , , ,... Исходная система уравнений удовлетворяет условию (2.6), поэтому построенная последовательность будет сходиться к истинному решению системы (). Вычисления можно прекратить, когда достигнем значения n такого, что .
Метод Зейделя Другой итерационный способ решения систем линейных уравнений вида (2.4) носит имя Зейделя, и его можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Последовательные приближения строятся здесь по формуле , где ; . (2.7)
Отличия двух методов хорошо иллюстрирует следующий пример: Пример. Рассматривая систему трех уравнений с тремя неизвестными, которая приводилась выше, найдем ее решение методом Зейделя, оставляя каждый раз при вычислениях два знака после запятой:
Возьмем в качестве начального приближения . Тогда , , ,... Обратите внимание, что в методе Зейделя при вычислении используется уже найденное на этом шаге , а при вычислении используются и . Приведенное решение показывает, что метод Зейделя быстрее сходится к решению, чем метод Якоби, однако в общем случае это неверно. Дело в том, что эти методы ориентированы на решение разных классов систем: метод Якоби - на системы с матрицами, близкими к диагональным, а метод Зейделя - на системы с матрицами, близкими к нижним треугольным.
Достаточные условия сходимости метода Зейделя формулируются следующей теоремой: Если для , (2.8) причем хотя бы для одного неравенство строгое, то итерационная последовательность (2.7) сходится к решению системы (2.1) при любом начальном приближении. Докажем эту теорему для системы двух уравнений с двумя неизвестными: Пусть Приведем эту систему к виду, удобному для итераций: , тогда . Подставляя из первого уравнения во второе, получим: (*) для предыдущего шага итерации эта формула имеет вид (**) Вычтем (**) из (*) и возьмем разность по абсолютной величине: . Аналогично можно получить, что
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 47; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.143.4.181 (0.004 с.) |