Статистична  обробка  результатів моделювання

Мета роботи – навчитись визначати основні статистичні характеристики випадкової величини, представленої у вигляді простого статистичного ряду, будувати графіки функції розподілу і щільності розподілу за даними отриманим експериментальним шляхом.

Теоретичні відомості

Припустимо, вивчається деяка випадкова величина (ВВ) X, закон розподілу якої невідомий, і потрібно перевірити експериментально гіпотезу про те, що величина X підпорядкована деякому теоретичному закону. З цією метою над ВВ X проводиться ряд незалежних дослідів (спостережень). У кожному з цих дослідів ВВ X приймає певне значення. Сукупність отриманих значень величини і являє собою первинний статистичний матеріал. Така сукупність називається "простою статистичною сукупністю" або " простим статистичними рядом ". Зазвичай проста статистична сукупність оформлюється у вигляді таблиці з одним входом.

В даній лабораторній роботі вихідні дані представлені у вигляді Excel -таблиці: в першому стовпчику – значення ВВ, отримані експериментальним шляхом; в другому – значення ВВ, змодельовані за ймовірним теоретичним законом розподілу.

Статистичні характеристики ВВ

Основні числові характеристики ВВ (математичне сподівання, дисперсія) мають свої аналоги і для статистичних розподілів.

Математичному очікуванню ВВ відповідає середнє арифметичне значень, яке називається статистичним середнім:

,

де  – значення ВВ, отримане в i -му досліді, n – число дослідів.

В програмі Excel статистичне середнє знаходиться за допомогою функції СРЗНАЧ(значение1; значение2;...), де значение1; значение2 – значення ВВ.

Статистична дисперсія ВВ   X  визначається формулою:

,

де – статистичне середнє.

В програмі Excel статистична дисперсія визначається за допомогою функції ДИСП(значение1; значение2;...), де значение1; значение2 – значення ВВ.

Щільність розподілу ВВ

При великій кількості спостережень статистичний матеріал необхідно додатково обробляти — будувати так званий «статистичний ряд». Тобто весь діапазон спостережених значений X необхідно поділитина інтервали або «розряди». При визначенні кількості інтервалів рекомендується користуватись правилом Стерджеса: , де k – кількість інтервалів; n ­– число дослідів.

У програмі Excel число дослідів (кількість спостережень) n може бути знайдено за допомогою функції СЧЁТ(значение1; значение2;...).

Величина інтервалу розраховується наступним чином: від максимального значення ВВ віднімається мінімальне і ділиться на кількість інтервалів k. Далі підраховується кількість значень (частота потрапляння) m_i, якаприходиться на кожен i -й розряд. Для цього в програмі Excel можна використовувати функцію

ЧАСТОТА (массив_данных; массив_интервалов),

де массив _ данных – значення ВВ; массив _ интервалов – праві границі розряду.

В табл. 2.5 представлений статистичний ряд, де наведені розряди в порядку їх розташування уздовж осі абсцис та відповідні частоти.

Таблиця 2. 5

			…		…
			…		…

Тут – позначення i -го розряду; – границі розряду; m_i – відповідна частота потрапляння; k – число розрядів.

Статистичний ряд часто оформлюється графічно у вигляді так званої гістограми. Гістограма являє собою графік щільності розподілу величини X і будується таким чином: по осі абсцис відкладаються розряди, по осі ординат – відповідні їм значення частоти попадання m_i.

Функція розподілу ВВ

Для знаходження ймовірність потрапляння ВВ у певний інтервал необхідно поділити отримане значення частоти потрапляння m_i на загальну кількість спостережень п: . Сума ймовірностей усіх розрядів, має дорівнювати одиниці.

Розряди та відповідні їм ймовірності можна записати у вигляді, представленому у табл. 2.6.

Таблиця 2. 6

			…		…
			…		…

(2.1)

 Для побудови статистичної функції розподілу величини X, по оси ординат відкладають границі x ₁, x ₂,... розря­дів, які записані в ста­тистичному ряді, по оси орди­нат – відповідні їм ймовірності попадання ВВ в інтервал. Таким чином маємо формули (2.1).

Поєднуючи отримані точки плавною кривою, отримаємо наближений графік статистичної функції розподілу.

Приклад. Проведено 500 вимірювань бічної помилки наведення при стрільбі з літака по наземній цілі. Результати вимірювань зведені в статистичний ряд (див. табл. 2.7).

Таблиця 2. 7

	-4; -3	-3; -2	-2; -1	-1; 0	0; 1	1; 2	2; 3	3; 4
	6	25	72	133	120	88	46	10
	0,012	0,050	0,144	0,266	0,240	0,176	0,092	0,020

Побудувати гістограму і приблизну статистичну функцію розподілу помилки наведення за даними статистичного ряду.

Рішення. Застосовуючи формули (2.1), маємо:

Гістограма і наближений графік статистичної функції розподілу представлені на рис. 2.4 і рис. 2.5 відповідно.

Рис. 2.4. Гістограма

Рис. 2.5. Статистична функція розподілу

Порядок виконання роботи

2.1. За П.1.1, використовуючи програму Excel, визначити основні статистичні характеристики експериментального і теоретичного розподілу ВВ: математичне очікування, дисперсію, найбільше, найменше значення, кількість значень у ряді.

2.2. За П. 1.2. побудувати графіки теоретичної та експериментальної щільності розподілу ВВ.

2.3. П. 1.3. Побудувати на одній площині графіки теоретичної та експериментальної функції розподілу ВВ.

2.4. Зробити висновки по роботі.

3. Звіт повинен містити результати розрахунків за П.2.1-2.3, гістограми і графіки функції розподілу для теоретичної та експериментальної ВВ, висновки по роботі.

4. Згідно з варіантом у додатку А представлені дані для передбачуваного теоретичного розподілу, у додатку Б – експериментально отримані дані.

Контрольні питання

1. Які основні статистичні характеристики описують ВВ?

2. Що таке гістограма?

3. Який порядок побудови щільності розподілу ВВ?

4. Як будується статистична функція розподілу ВВ?

 

 

Лабораторна робота № 2.4