Опишем переход от одного представления к другому.

Допустим, что вектор задан вторым способом, при котором известны три его проекции − , , .

Тогда модуль вектора можно найти как диагональ параллелепипеда:

,

а направляющие косинусы, для которых выполняется известное соотношение

,

определить с помощью деления:

В случае, когда вектор лежит в одной координатной плоскости, например в плоскости , формулы упростятся и приобретут следующий вид:

,                

         

причем .

 

3.3. СЛОЖЕНИЕ СИЛ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СПОСОБОМ,

ТРЕУГОЛЬНИК СИЛ

 

Существует три способа сложения сил:

1) графический

2) геометрический (графоаналитический)

3) аналитический.

Учитывая, что противоположные стороны паралеллограмма равны, сумму двух векторов можно найти, построив вместо параллелограмма сил, треугольник сил (рис. 3.5). 

Треугольник сил строится от произвольной точки плоскости путем присоединения начала второго вектора к концу первого вектора. Замыкающий вектор геометрически будет равен искомому вектору . Результат суммирования не зависит от порядка следования слагаемых. Следовательно, силовой треугольник может быть построен двумя способами (рис. 3.5).

 

Рис. 3.5

 

Суммарный вектор будет являться равнодействующей двух сил, если приложен в точке, где пересекаются линии действия слагаемых сил.

Графический способ сложения сил заключается в построении треугольника сил с помощью карандаша и линейки в заданном масштабе.

В настоящее время этот способ практически не применяется.

Геометрический способ решения задач основан на том, что модуль и направление суммы двух сил можно определить, используя формулы тригонометрии для треугольников.

По теореме косинусов для треугольника имеем:

откуда модуль равнодействующей

                         (3.1)

По теореме синусов:  

.                                         (3.2)

Отсюда можно определить направление рав­нодействующей. 

Суммирование нескольких сил может выполняться путем последовательного построения силовых треугольников.

 

 

3.4. МНОГОУГОЛЬНИК СИЛ,

ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР СИСТЕМЫ СИЛ

Пусть на твердое тело действует система сил  (рис.3.6).

Вектор, равный векторной  (геометрической) сумме всех сил системы, называется главным вектором системы сил:

                                      (3.3)

1. Главный вектор может быть найден для любой системы сил.

2. Главный вектор, как геометрическая сумма всех сил системы, никак не связана с какой-то определенной точкой пространства.

3. Если для некоторой системы сил существует равнодействующая, то она по модулю и направлению совпадает с главным вектором. Неизвестной является только точка ее приложения (линия действия).

Будем обозначать главный вектор , не указывая при этом точку пространства, в которой он был определен.

Рис.3.6

Графически главный вектор находится с помощью построения многоугольника сил. 

Выберем произвольную точку О, которую будем называть центром или точкой приведения. Еще раз отметим, что величина и направление главного вектора системы не зависит от положения точки приведения.

Путем последовательного построения треугольника сил будем суммировать силы   которые геометрически равны заданным силам :

и так далее.

В результате получим вектор , представляющий собой геометрическую сумму векторов :

Полученная в результате построения геометрическая фигура называется силовым многоугольником. 

Силовой многоугольник строится путем совмещения начала каждого следующего вектора с концом предыдущего вектора. При этом промежуточные вектора ,  и т.д. показывать не обязательно.

Векторы  называются составляющими, а вектор - замыкающим вектором силового многоугольника.