Тепловые потери в токоведущей части аппарата

Общие сведения

Рассмотрим однородный проводник с активным сопротивлением R, по которому протекает меняющийся во времени ток i. Согласно закону Джоуля-Ленца, тепловая энергия, выделяющаяся в проводнике за время t, равна

                           (2.1.1)

В случае постоянного тока формула (2.1.1) примет вид

(2.1.2)

С точки зрения теплового действия действующее значение переменного тока I эквивалентно постоянному току той же величины. (Не случайно это значение переменного тока, в отличие от амплитудного, среднего и средневыпрямленного, принято обозначать большой буквой без индекса.) То есть для переменного тока с действующим значением I формула (2.1.2) также справедлива.

Потери энергии в единицу времени, или мощность потерь

(2.1.3)

При вычислении мощности потерь в проводнике с переменным током следует учитывать, что активное сопротивление проводника, особенно при высоких частотах, возрастает из-за коэффициента добавочных потерь k_д. Этот коэффициент, в свою очередь, состоит из двух коэффициентов - коэффициента поверхностного эффекта k_п и коэффициента близостиk_б.С учетом этого активное сопротивление проводника переменному току будет определяться следующим выражением:

   (2.1.4)

где R - активное сопротивление проводника постоянному току, Ом.

Сущность поверхностного эффекта поясняет рис. 2.1.1. Протекающий в проводнике ток вызывает появление магнитного потока, охватывающего

проводник. Если представить ток проводника как сумму элементарных токов, равномерно распределенных по сечению, отдельные элементарные токи окажутся в неравноправном положении по отношению к этому потоку. На рис. 2.1.1.а) показано, что элементарный ток, находящиеся в глубине проводника охватывается всеми линиями магнитной индукции, в то время как проводник, находящийся напериферии - только частью этих линий. Если ток проводника постоянный, такое различие не имеет никакого значения. В случае переменного тока, созданный им переменный поток будет наводить ЭДС самоиндукции, направленную навстречу току. Из-за неодинакового охвата линиями магнитной индукции слоев проводника, эта ЭДС будет наибольшей в его глубине и наименьшей у поверхности. Индуктивное сопротивление внутренним элементарным токам окажется наибольшим, и они будут вытеснены во внешние слои проводника.

 

Рис. 2.1.1. К обьяснению возникновения поверхностного эффекта и эффекта близости: а) элементарные токи в поле проводника; б) вытеснение тока к поверхности круглого проводника; в) и г) вытеснение тока к краям соседних проводников

 

Неравномерно распределенный по сечению проводника ток можно представить текущим по трубе, то есть по проводнику с меньшей площадью поперечного сечения (рис. 2.1.1.б). При уменьшении площади сечения возрастает активное сопротивление, и это возрастание учитывает коэффициент поверхностного эффекта. 

По этой же причине элементарные токи смещаются в сечении двух соседних проводников с токами (рис. 2.1.1.в и г). Но в зависимости от взаимного расположения проводников, их геометрической формы и расстояния между ними это смещение может, как усугублять поверхностный эффект, так и компенсировать его. Учет явления изменения активного сопротивления проводника с током, обусловленного близостью другого проводника с током, производится с помощью коэффициента близости.

Примеры решения задач

Пример 1. По алюминиевому шинопроводу, который находится в спокойном воздухе и нагрет до 95 °С, протекает переменный ток частотой 50 Гц и величиной 2 000 А. Требуется определить коэффициент поверхностного эффекта; сопротивление 1 м проводника переменному току; потери мощности в 1 м проводника с разной формой поперечного сечения.

Проводник:

а)простой круглый диаметром d = 80 мм;

б)трубчатый с внешним диаметром d = 80 мм и толщиной стенки ẟ=10 мм;

в)трубчатый с внешним диаметром d = 80 мм и толщиной стенки ẟ=15 мм;

г) трубчатый с внешним диаметром d = 80 мм и толщиной стенки ẟ = 20 мм.

Сравните полученный результат с потерями мощности в этих проводниках при протекании постоянного тока величиной 2000 А.

Решение. Тепловые потери мощности в проводнике могут быть определены по формуле (2.1.3), активное сопротивление проводника - по формуле (2.1.4). Коэффициент близости следует принять равным единице, поскольку в условии задачи идет речь о единичном проводнике. Коэффициент поверхностного эффекта определяется по графикам , построенным для простых и трубчатых проводников (рисунок П.1). Здесь f - частота переменного тока, R₁₀₀ - сопротивление 100 Ом проводника постоянному току:

(2.1.5) 

где ρ_о - удельное сопротивление проводника при θ= 0 °С, Ом м;

l - длина проводника, м;

S - площадь поперечного сечения проводника, м²;

α- температурный коэффициент сопротивления, 1/°С.

Для алюминия ρ_о= 2,62 ‧ 10^-8Ом‧м, α= 4,2-10^-31/°С.

Площадь поперечного сечения сплошного круглого проводника и трубчатого проводника соответственно определяются формулами:

,

С учётом этого, формула (2.1.5) примет вид: для сплошного круглого проводника –

(2.5.а)

Для трубчатого проводника –

(2.5.б)

Подставляя известные значения в формулы (2.5.а) и (2.5.б), для каждого типа проводника находим сопротивление 100 метров, величины  и коэффициент поверхностного эффекта:

Сопротивление 100 м проводника было определено выше. Используя полученные данные, по формулам:

находим потери мощности в 1 м проводника на постоянном и переменном токе:

Пример 2. Медные шины с размерами поперечного сечения h=100 мм и ẟ =25 мм испытывают токовую нагрузку 2,5 кА/50 Гц. Температура шин 110 °С. В каких плоскостях и на каком расстоянии друг от друга должны быть расположены шины, чтобы мощность потерь в 1 м проводника составляла 120 Вт?

Решение. При расположении шин в параллельных плоскостях эффект близости может компенсировать поверхностный эффект. На это указывает характер зависимости, представленной на рис. П.3: коэффициент близости принимает значения меньше единицы. При расположении шин в одной плоскости поверхностный эффект усугубляется: на рис. П.4 коэффициент близости принимает значения больше единицы. Учитывая это, для решения задачи необходимо сначала вычислить коэффициент близости, соответствующий заданной мощности тепловых потерь, а затем принять решение о взаимном расположении шин.

Мощность потерь в 1 м проводника на переменном токе с учетом близости других немагнитных проводников может быть определена по формуле:

(2.1.6)

Выражаем из формулы (2.1.6) коэффициент близости:

(2.1.7)

Для определения коэффициента поверхностного эффекта необходимо

вычислить . Сопротивление ста метров проводника с удельным

 

Используя формулу (2.1.7) вычисляем значение коэффициента близости:

Полученный коэффициент близости соответствует расположению шин в одной плоскости на расстоянии около 50 мм (рис. П.4).

Ответ: шины должны быть расположены в одной плоскости, на расстоянии 50 мм.

Выводы и обобщения

Дополнительные уточнения при изложении теоретических сведений часто отягощают это изложение. Но по итогам решения конкретных задач такие уточнения становятся более уместными. Обратимся к некоторым теоретическим положениям и соотнесем их с результатами расчетов.