Зависимость допустимой плотности тока

От времени термической устойчивости для медных проводников

t т.у., с	10	1	0,01
J доп, А/мм^2	48	152	1520

 

Короткое замыкание - кратковременное явление, представляющее собой процесс изменения тока от одного установившегося значения до другого. Рассчитав переходный процесс тока, можно поставить в соответствие меняющемуся току неизменный по величине и эквивалентный по тепловому действию ток. Но вычисление эквивалентного тока при расчете превышения температуры проводника существенно усложняет расчеты. Поэтому на практике принимают ток короткого замыкания неизменным и равным установившемуся току короткого замыкания, а за время действия такого тока принимают не реальное, а фиктивное время короткого замыкания. Для определения фиктивного времени используют специальные кривые (рис. П.6).

Примеры решения задач

Пример 1. Требуется определить температуру круглого алюминиевого проводника диаметром d =30 мм, по которому протекает постоянный ток величиной 1 000 А. Температура окружающего воздуха θ₀ = 35 °С.

Решение. В задании не оговорено время работы проводника с токовой нагрузкой, следовательно, рассматриваемый процесс нагрева - продолжительный и требуется определить установившуюся температуру проводника. Для упрощения расчетов, примем коэффициент теплоотдачи неизменным и равным 15 Вт/(м²‧°С). Установившееся изменение температуры определяется по формуле (2.2.6). С учетом зависимости сопротивления от температуры эта формула примет вид:

(2.2.18)

Выразив площадь поверхности охлаждения и площадь сечения проводника через его геометрические размеры, получим:

и, прейдя от перегрева к температуре:

    (2.2.19)

После подстановки числовых значений, получим:

Ответ: проводник нагреется до температуры θ= 68,7 °С.

Пример 2. Стальная шина имеет прямоугольное сечение с размерами h = 100 мм и ẟ=4 мм Коэффициент теплоотдачи шины k _Т = 20 Вт/(м²‧°С), допустимая температура нагрева шины θ_ДОП = 95 °С, температура окружающей среды θ₀= 35 °С. Требуется определить время, в течение которого по шине может протекать постоянный ток величиной I = 1000 А. Задачу решить с учетом влияния температуры на установившийся перегрев τ_уст и постоянную времени нагрева Т.

Решение. В соответствии с (2.2.10), за время работы t _p проводник нагреется до температуры

        (2.2.20)

Выразив из (2.2.20) t _p, получим формулу для определения допустимого времени работы под током:

(2.2.21)

Зависимости τ_уст= f ₁ (θ) и Т= f ₂ (θ)  можно получить, преобразовав уравнение баланса энергии для элемента длины проводника (формула (2.2.4). Подставив в формулу (2.2.4) зависимость сопротивления от температуры и заменив θ на τ+θ₀, получим:

(2.2.22)

Преобразуем полученное выражение к виду (2.2.7):

(2.2.23)

Сравнивая полученное выражение с (2.2.7) можно видеть, что коэффициент при dt в левой части есть τ_уст, а коэффициент при d τ - постоянная времени нагрева Т.

Таким образом, установившийся перегрев при учете влияния температуры определяется зависимостью:

(2.2.24)

На переменном токе, при учете коэффициента добавочных потерь, формула (2.2.24) примет вид:

                (2.2.24.а)

Формула для определения постоянной времени с учетом влияния температуры:

                   (2.2.25)

А с учётом коэффициента добавочных потерь:

            (2.2.25.а)

Принимая во внимание заданные геометрические размеры проводника, получим формулы для вычислений τ_усти Т:

Подставляя числовые значения в (2.2.26.а) и в (2.2.26.б), получим

Для того чтобы температура проводника не превысила допустимой величины, необходимо в формулу (2.2.21) подставить допустимый перегрев:

Подставив полученные значения τ_усти Т в формулу (2.2.21), получим допустимое время работы под нагрузкой:

Ответ: допустимое время кратковременной работы t _p= 252 с.

Пример 3. Используя данные предыдущего примера, определить длительно допустимый и максимальный 60-секундный токи, которыми шина будет нагреваться до 95 °С.

Решение. Ток продолжительного режима может быть определен двумя способами.

Первый способ основан на использовании формулы (2.2.18). Записав ее для I _пр, получим

(2.2.27)

С учетом формы сечения проводника формула (2.2.27) примет вид:

(2.2.28)

Подставив в формулу (2.2.28) числовые значения получим ток продолжительного режима, нагревающий шину до 95 °С.

Второй способ заключается в использовании коэффициента перегрузки по току кратковременного режима и известных из предыдущего примера параметрах такого режима. Если расчеты выполняются без учета зависимости установившегося перегрева от температуры, коэффициент перегрузки может быть вычислен по формуле (2.2.12). Но в рассматриваемом примере влияние температуры учитывается, поэтому результат расчета по формулам (2.2.12) и (2.2.27) будет различным. Чтобы получить формулу, эквивалентную формуле (2.2.27) с точки зрения получаемого результата, необходимо в левую часть равенства

подставить τ_уст, выраженные в соответствии с (2.2.24). Получим

(2.2.29)

Равенство (2.2.29) является основой для взаимного пересчета токов продолжительного и кратковременного режимов с учетом зависимости τ_уст от температуры. Выражение для тока продолжительного режима, полученное из (2.2.29):

(2.2.30)

Результаты вычислений, произведенных по полученной формуле, и формуле (2.2.27) будут совпадать. Выражая из (2.2.29) ток кратковременного режима, получим:

 (2.2.31)

С учётом формы шины, предлагаемой в примере, формула для расчёта тока кратковременного режима примет вид:

 (2.2.32)

Подставляя в Формулу (2.2.32) числовые значения, получим максимально допустимый 60-секундный ток:

Ответ: допустимый длительный ток I _пр=690А; максимальный ток кратковременного, 60-секундного режима I _кр=1162А.

Пример 4. Решить задачи второго и третьего примеров без учета влияния температуры на установившийся перегрев τ_усти постоянную времени нагрева Т.

При определении установившегося перегрева, сопротивление проводника можно принять неизменным и соответствующим начальной температуре. Введя в формулу (2.2.6) зависимость сопротивления от геометрических размеров и материала проводника, получим

    (2.2.33)

Подставляя в (2.2.33) числовые значения, получим перегрев при продолжительном протекании тока нагрузки:

При расчете без учета влияния температуры в знаменателе формулы (2.2.25) будет отсутствовать вычитаемое:

 (2.2.34)

С учетом формы и материала проводника формула (2.2.34) примет вид:

(2.2.35)

После подстановки получим:

Подставив полученные значения в формулу (2.2.21), получим:

Коэффициент перегрузки по току полученного кратковременного режима в соответствии с формулой (2.2.12):

С учетом этого коэффициента, ток продолжительного режима:

Это же результат будет получен, если воспользоваться формулой (2.2.28), считая, что сопротивление проводника соответствует начальной температуре:

Для 60-секундного кратковременного режима коэффициент перегрузки будет:

С учетом полученного коэффициента перегрузки может быть определен допустимый ток 60-секундного кратковременного режима.

Ответ: в результате расчета, произведенного без учета изменения сопротивления проводника при нагреве, были получены следующие данные: допустимая продолжительность кратковременной работы t _р шины с токовой нагрузкой 1000 A составляет 353 с (по уточненной формуле - 252 с); допустимый ток продолжительной работы I _пр= 795 А (по уточненной формуле - 670 А); допустимый ток 60-секундного кратковременного режима I _кр = 2011 А (по уточненной формуле - 1162 А).

Пример 5. Используя данные второго примера, определить, до какой температуры разогреется шина, если по ней протекает ток величиной I = 1000 А в течение t _p = 60 с, а длительность паузы составляет t _p = 300 с.

Решение. В соответствии с формулой (2.2.13) и рис. 2.2.3 максимальный перегрев повторно-кратковременного режима равен установившемуся перегреву продолжительного режима с эквивалентной токовой нагрузкой. Заменив в (2.2.13) τ_уст.прна τ_max.п.кр, получим выражение для максимальной температуры шины, работающей в повторно-кратковременном режиме:

 (2.2.37)

Время цикла:

t _ц = 60+ 300 = 360 с.

Установившийся перегрев повторно-кратковременного (которого проводник мог бы достичь, работая продолжительно) по упрощенной формуле (2.2.33):

Подставляя известные значения в формулу (2.2.29), получим максимальную температуру шины:

Ответ: максимальная температура шины в повторно-кратковременном режиме θ_{mах.п.кр}= 58 °С.

Пример 6. Используя данные второго примера, определить максимально допустимую длительность протекания тока величиной I = 1000 А, если время цикла составляет t _ц = 360 с. Результат расчета, приведенного в предыдущем примере, показал, что проводник недоиспользован по нагреву: при допустимой температуре 95 °С он нагревается до 58 °С. Это значит, что продолжительность включения может быть увеличена. Преобразовав формулу (2.2.29), получим выражение для t _p, в которое необходимо подставить значение θ_{mах.п.кр} = 60 °С.

(2.2.38)

Подставляя известные численные значения, получим максимальное время работы в 360-секундном цикле:

Ответ: максимально допустимое время работы с заданной нагрузкой в цикле 360 с составляет t _p=183 с.

Пример 7. Требуется определить конечную температуру медной шины прямоугольного сечения с размерами h = 25 мм и ẟ = 5 мм после протекания по ней тока короткого замыкания величиной I = 25 000 А в течение одной секунды. Начальная температура шины θ₀ = 20 °С.

В задании приведен эквивалентный ток короткого замыкания, неизменный в течение всего времени короткого замыкания, следовательно, в формулу для определения j ² ‧ t можно подставлять время 1 с. С учетом формы проводника искомая величина будет равна:

Подставив табличные и расчетные данные в формулу (2.2.17), получим:

Ответ: температура шины после короткого замыкания θ=337 °С.

Пример 8. Требуется определить температуру алюминиевой шины с размерами поперечного сечения h = 100 мм и ẟ = 10 мм после протекания по ней в течение t =10с тока короткого замыкания с параметрами: I _{~ р} = 70 кА, I _∞ = 30 кА. Начальная температура шины θ₀= 50 °С. 

В задании указано, что ток на протяжении процесса короткого замыкания изменяется по величине. Следовательно, для вычисления величины j ² ‧ t потребуется определить фиктивное время короткого замыкания, в течение которою ток считается неизменным и равным установившемуся значению I _∞ По рисунку приложения П.6 видно, что фиктивное время может быть поставлено в соответствие реальному времени короткого замыкания, не превышающему 5 секунд. Это значит, что после пятой секунды переходный процесс устанавливается и ток становится равен I _∞ в действительности. То есть полное фиктивное время короткого замыкания, продолжающегося более пяти секунд должно определяться по формуле:

t _ф= t _ф5 + (t -5)    (2.2.40)

где t _ф - полное фиктивное время короткого замыкания, с;

t _ф5- фиктивное время 5-секундного короткого замыкания, с;

t - реальное время короткого замыкания, с.

В соответствии с рисунком приложения П.6, t _ф5= 5,8 с. Значит, полное фиктивное время будет равно t _ф=5,8 + (10-5) = 10,8с.

Учитывая геометрические размеры проводника, для полученного значения фиктивного времени короткого замыкания по формуле (2.2.31) можно определить величину j ² ‧ t:

Подставив в формулу (2.2.17) расчетные и табличные данные, получим конечную температуру:

Ответ: температура шины после короткого замыкания 0=199 °С.

Пример 9. Требуется определить необходимый диаметр константановой проволоки для намотки пускового реостата, нагружаемого постоянным током I = 100 А в течение t = 1,5 с. Начальная температура проводника θ₀ = 40 °С, допустимая температура для константана равна θ_ДОП = 200 °С.

Задача может быть решена как на основе формулы (2.2.17), так и с помощью кривых адиабатического нагрева (рисунок приложения П.5). Допустимому изменению температуры по кривой, построенной для константана, можно поставить в соответствие значение j ² ‧ t. Далее, при известной величине тока и времени его протекания, можно определить диаметр проволоки.

Начальной температуре соответствует значение (j ² ‧ t)₄₀=0,35‧10¹⁵A²‧с/м⁴, допустимой температуре - значение (j ² ‧ t)₂₀₀= 1,6 ‧10¹⁵ А²‧с/м⁴. Величина ∆(j ² ‧ t), нагревающая проводник с начальной температуры до предельной температуры, равна

Учитывая, что

Можно вывести формулу для вычисления диаметра:

Ответ: диаметр константановой проволоки d - 2,1 мм.

Выводы и обобщения

Целью решения практической задачи должно быть не столько получение числового значения физической величины, сколько приобретение опыта соотнесения результатов нескольких задач, анализа полученных результатов с точки зрения их реалистичности, оценки точности и области применения использованных расчетных методов и т.п. По итогам рассмотренных примеров и на основе положений теории тепловых расчетов можно сделать некоторые выводы и обобщения.