Расчет статически неопределимых систем   по допускаемым напряжениям

Системы, для которых число реакций и внутренних силовых факторов превышает число независимых уравнений статического равновесия, называют статически неопределимыми.

Разность между числом неизвестных и числом независимых уравнений равновесия называют степенью статической неопределимости.

Статически неопределимыми могут быть как короткий брус, так и шарнирно-стержневые системы, работающие на растяжение и сжатие. Шарнирно-стержневые системы – системы, образованные стержнями, связанными в узлах.

Для решения таких систем составляют дополнительные уравнения – условия совместности перемещений. Число последних должно быть равно степени статической неопределимости системы.

Рассмотрим принципы составления уравнений перемещений и раскрытия статической неопределимости на ряде примеров.

Пример 2.1. Для составного ступенчатого бруса, состоящего из меди и стали и нагруженного сосредоточенной силой  (рис. 2.4, а), определить внутренние продольные силы и построить их эпюры, если известны модули упругости материала: для стали , для меди .

Решение:

1. Составляют уравнение статического равновесия:

; .                   (2.26)

а)  б) Рис. 2.4

Задача один раз статически неопределима, поскольку обе реакции могут быть определены только из одного уравнения.    2. Условие совместности перемещений должно выразить тот факт, что общая длина бруса не меняется, т.е. перемещения, например, сечения .  (2.27) Используя закон Гука (2.12), с учетом того факта, что перемещения какого-либо поперечного сечения бруса численно

равны удлинению или укорочению его участков, расположенных между заделкой  и «перемещающимся» сечением , преобразуют уравнение (2.27) к виду:

              .                        (2.28)

Отсюда                      .                                  (2.29)

Подставив (2.29) в (2.26), определяют

                       .         (2.30)

Тогда, применив метод сечений, согласно выражению (2.3), получают:

                             ; .

Приняв для наглядности решения

; ; ; ,

с учетом (2.29) получают     ,

a с учетом (2.30) получают .

Эпюра продольных сил показана на рис. 2.4, б.

Расчет на прочность после этого выполняют согласно условию прочности (2.22).

Пример 2.2. Определить усилия в упругих стержнях (в функции угла ), имеющих одинаковую жесткость на растяжение , длину   и удерживающих невесомый абсолютно жесткий брус , нагруженный силой  (рис. 2.5, а).

Решение.

1. Вводят внутренние усилия  и  и составляют условия статического равновесия:

                     (2.31)

а) в) б) Рис. 2.5

Возможно составление еще двух уравнений равновесия: ;  Но они не нужны для решения вопроса, поставленного в задаче. В итоге имеются четыре неизвестных (  и ) и три уравнения равновесия. Задача один раз статически неопределима. 2. Представляют систему в деформированном виде (рис. 2.5, б). Шарниры

и  переместятся в положение  и  относительно шарнира .

Используя принцип начальных размеров (см. раздел 1.3), можно считать, что перемещения  и  происходят перпендикулярно брусу . Из подобия треугольников  и  получают:

              / = / ,                                 (2.32)

               = /2.                                     (2.33)

Из рис. 2.5, б следует: = .                                     (2.34)

На рис. 2.5, в показан в увеличенном виде , из которого следует

             = .                                                       (2.35)

Подставив формулы (2.34) и (2.35) в (2.33), получают

                  = .                              (2.36)

Используя закон Гука в виде (2.13), записывают (2.33) в виде:

      .                               (2.37)

Отсюда                          .                                   (2.38)

Подставив (2.38) в (2.31), находят значение , а затем, подставив полученную величину в (2.38), вычисляют значение .

Анализируя формулы (2.28) и (2.37), можно сделать выводы:

а) усилия в статически неопределимых системах зависят на только от величины внешних нагрузок и геометрических величин, характеризующих форму и размеры конструкции, но и от соотношения жесткостей сечений  ее элементов или, если материал последних одинаков, от соотношения площадей их сечений, тогда как в статически определимых системах усилия зависят лишь только от нагрузок и геометрических характеристик – формы и размеров конструкции;

б) для статически неопределимой системы в общем случае нельзя добиться равенства напряжений во всех элементах и, следовательно, требование обеспечить в каждом из них напряжения, равные допускаемым, неосуществимо.

Температурные напряжения

 

Из физики известно, что при нагревании (охлаждении) увеличиваются (уменьшаются) линейные размеры бруса. Эти деформации определяются по формуле:

          ,                          (2.39)

где – коэффициент линейного расширения материала бруса, 1/град;

   и  – начальная и конечная температуры стержня, ºС;

  – длина стержня, м.

Если нет препятствий (рис. 2.6, а), то при нагревании произойдет лишь увеличение размеров бруса (это учитывают при укладке рельсов и т.п.). Внутренние усилия при этом не возникают (пока не закроется, например, зазор между рельсами). Если брус заделан обеими концами (рис. 2.6, б), то возникают сжимающие усилия , поскольку заделки препятствуют его удлинению. Уравнение равновесия: ; – + = 0; . Отсюда следует, что система самоуравновешена, т.е. внутренние силы возникают при отсутствии внешних нагрузок и для их определения уравнений равновесия недостаточно.

 

б) а) Рис. 2.6

Система статически неопределима. Составим условие совместности перемещений, геометрический смысл которого – равенство нулю перемещений, например, сечения  от воздействия температуры и от реакции . С учетом формул (2.13) и (2.39) получим:

или

Откуда                     .                                      (2.40)

Температурные напряжения с учетом формулы (2.4): 

    .                         (2.41)

 

Вопросы для самоконтроля

1. Какие случаи деформации бруса называются центральным растяжением или сжатием?

2. Как вычислить значение продольной силы в произвольном поперечном сечении бруса?

3. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?

4. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально растянутого или сжатого бруса и чему они равны?

5. Как используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого) бруса?

6. Как строится график (эпюра), показывающий изменение (по длине оси бруса) нормальных напряжений в поперечном сечении бруса?

7. Что называется полной (абсолютной) продольной деформацией? Что представляет собой относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольной деформаций?

8. Что называется модулем упругости ? Как влияет величина модуля  на деформации бруса?

9. Что называется жесткостью бруса при растяжении (сжатии)?

10. Как формулируется закон Гука? Напишите формулы абсолютной и относительной продольной деформации бруса?

11. Что происходит с поперечными размерами бруса при его растяжении и сжатии?

12. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона) и какие он имеет значения?

13. Как определяются продольные перемещения точек бруса при ступенчато переломанном сечении и продольных силах, постоянных в пределах отдельных участков?

14. Что представляет собой эпюра продольных перемещений?

15. Какое действие нагрузки называется статическим?

16. Что называется допускаемым напряжением? Как оно выбирается для пластичных и хрупких материалов?

17. Что называется коэффициентом запаса прочности и от каких основных факторов зависит его величина?

18. Какие три характерных типа задач встречаются при расчете прочности конструкции?

19. Какие системы называются статически неопределимыми?

20. Что представляют собой дополнительные уравнения условия совместности перемещений?

21. Что называется степенью статической неопределимости системы?

22. Какие напряжения называются температурными?

23. Как отражается увеличение жесткости отдельных элементов статически неопределимых систем на усилиях в этих и других элементах?