Деформации при объемном напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука

Совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через заданную точку нагруженного тела, называют деформированным состоянием в точке.

Анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами, совершенно аналогичным свойствам напряженного состояния в точке. Среди множества осей, проведенных через заданную точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Эти оси называют главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе осей – главными деформациями и обозначают  и .

При одноосном НС согласно закону Гука продольная деформация

,                                    (4.25)

а поперечная                    .                              (4.26)

Пусть дан элементарный объем , по граням которого возникают растягивающие главные напряжения  и  (рис. 4.8). Вследствие деформации ребра элемента удлиняются соответственно на  и . Тогда главные деформации определятся как

                        .

С другой стороны, под действием напряжения  ребро получает удлинение согласно (4.25)

.                                   (4.27)

В то же время по отношению к направлениям  и  ребро  является поперечным размером и в нем согласно (4.26) возникают укорочения

     .                  (4.28)

 

Используя принцип суперпозиции (см. раздел 1.3), с учетом (4.27) и (4.28) получим

                           .     

 

где – деформация в направлении напряжения , вызванная действием напряжения .

Аналогично получим выражения для других главных деформаций. В итоге

                         ,

,                           (4.29)

                          .

Формулы (4.29) называют обобщенным законом Гука для изотропного тела. Сжимающие напряжения подставляют в формулы со знаком минус. Из формул (4.29) легко получают закон Гука для плоского и одноосного НС, приравняв соответствующие напряжения нулю.

Выражения (4.29) справедливы не только для главных направлений, но и для любых трех взаимно перпендикулярных осей:

                                         ,

,                                 (4.30)

                                         .

Определим объемную деформацию. До деформации объем элемента . После деформации объем его изменится:

                      или,

пренебрегая произведениями малых деформаций:

                .

Используя полученные выражения, получим для относительного объема

      .                     (4.31)

Подставляя из формулы (4.29) значения  и  в (4.31), получим

  .                      (4.32)

Из формулы (4.32) следует, что для изотропного тела коэффициент Пуассона не может превышать  = 0,5. Если для материала  = 0,5 (резина), то относительное изменение объема ; также, если сумма трех главных напряжений равна нулю, то изменения объема при упругой деформации не произойдет, т.е. . Кроме того,  зависит не от соотношения между главными напряжениями, а лишь от их суммы. Следовательно, если к элементу приложить средние напряжения , то относительное изменение объема не изменится и выразится формулой:

,                            (4.33)

где  называют объемным модулем упругости материала. С обзором различных типов напряженных состояний, возникающих в различных элементах конструкций, можно ознакомиться самостоятельно (см. [1], с 245 – 249).