Определение напряжений в стержнях круглого поперечного сечения. Расчет на прочность

Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения диаметром , нагруженного внешним крутящим моментом  (рис. 6.6). Прямоугольная сетка, нанесенная на его поверхности, после де­формации превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений на их гранях, т.е. напряженное состояние в любой точке представляет собой чистый сдвиг.

Примем следующие гипотезы:

1. Все поперечные сечения остаются плос­кими и после деформации.

2. Радиусы поперечных сечений остаются прямыми и после деформации.

3. Расстояния между поперечными сечениями последеформа­ции не изменяются.

            Рис. 6.6                                           Рис. 6.7

 

Вырежем двумя поперечными сече­ниями  и   часть стержня и закрепим левым торцом (рис. 6.6).

В элементе  радиусом  выделим цилиндрический cлой, образующая    которого после деформации займет положение   под воздействием крутящего мо­мента , который для элемента  можно считать внешним крутя­щим моментом. Поперечные сече­ния повернутся взаимно на угол  [рад]. Обозначим

                       ,                                           (6.9)

где q – относительный угол закручивания [рад/м].

Из рис. 6.7 cледует:   или . При­равняв правые части, подучим с учетом выражения (6.9):

.                                   (6.10)

Элемент    испытывает чистый сдвиг, следовательно справедлив закон Гука при сдвиге (6.5). Для слоя с радиусом  получим с учетом зависимостей (6.5) и (6.10):

                           ,                                   (6.11)

  т.е. касательные напряжения в сечении меняются по линейному закону.

Установим зависимость между крутящим моментом  и каса­тельными напряжениями в поперечном сечении (см. рис. 6.7.):

                                                 

или с учетом (6.11): .

Откуда         ,                                    (6.12)                                                                               

где   – полярный момент инерции (см. раздел 6.1).

Из (6.12) получим формулу для определения относительного угла закручивания

                                 .                                   (6.13)

Подставив (6.13) в (6.11) получим формулу для определения в любой точке поперечного сечения:

                     ,                                  (6.14)

где  – крутящий момент в сечении, в котором определяют напряжения [Н·м];

– полярный момент инерции поперечного сечения для круга [м⁴];

 – радиус слоя поперечного сечения, в котором определя­ют напряжения.

Из (6.14) следует, что наибольшие напряжения возникают в точках контура поперечного сечения при . Эпюра   представлена на рис. 6.8, а. По формуле (6.14) получим                                                   

,                             (6.15)

 где  – полярный момент сопротивления поперечного сечения.               

 

Для круга диаметра    полярный момент сопротивления равен:

.                        (6.16)

для кольца наружного диаметра   и внутреннего диаметра    (рис. 6.8, б) получим:

           , (6.17)

где .

Расчет на прочность при кручении. Наибольшие напряжения возникают в опасном сечении вала – сечении, в котором возникает наибольший по абсолютной величине внутренний крутящий момент

.

Условие прочности  с учетом формулы (6.15) имеет вид

                   .                             (6.18)

Допускаемое напряжение на кручение, как и при других видах деформации, определяют по формуле

                         ,                             (6.19)

где  – предельное напряжение (  – для пластичных и  – для хрупких материалов), а  – коэффициент запаса прочности.

   Т.к. данных испытания различных материалов на кручение значительно меньше, чем на растяжение, то  принимают из опыта по . Так, например, для стали  0,5 , для чугуна .

   Также как и при растяжении и изгибе при расчете на прочность при кручении возможны следующие три вида задач, различающихся формой использования условия прочности (6.18.):

Проверочный расчет – выполняется по формуле (6.18) для опасного сечения вала.

Проектировочный расчет – подбор размеров сечения вала. Из формулы (6.18) с учетом (6.16) получают для круга:

                        ;                                    (6.20)

для кольца с учетом (6.17) имеют

                          ,                            (6.21)

где  – заданное отношение диаметров.

Определение допускаемой нагрузки. Из формулы (6.18) получают

                          .                                  (6.22)