Моменты инерции простых сечений

 

1. Прямоугольник (рис. 8.5, а). Вычислим осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей , .

Используя формулы (8.2) и учитывая, что , получим

.                (8.20)

Аналогично               .                                (8.21)

2. Круг (рис. 8.5, б). Вычислим полярный момент инерции относительно центра тяжести круга, используя формулу (8.3) и принимая за  площадь бесконечно тонкого кольца толщиной , т.е. . Тогда

. (8.22)

Учитывая формулу (8.19), получим .

Отсюда .      (8.23)

3. Кольцо (рис. 8.5, в). Осевые моменты равны согласно формул (8.6) и (8.7) разности моментов инерции кругов диаметров  и . Тогда

.  (8.24)

где .

Аналогично полярный момент инерции

.          (8.25)

4. Треугольник (рис. 8.5, г). Вычислим вначале осевой момент инерции относительно оси . Принимаем за  площадь трапеции , преобразовав ее в прямоугольник

,

где  – ширина прямоугольника при координате .

 

Рис. 8.5

 

Из подобия треугольников () получим ; тогда с учетом (8.20)

,             (8.26)

Определим момент инерции относительно центральной оси ; используя формулу (8.11), получим

.               (8.27)

Относительно оси  осевой момент инерции определяют по выше изложенной методике.

5. Прокатные профили. Значения геометрических характеристик для этих сечений представлены в таблицах, называемых сортаментом прокатных профилей. (см. Приложения 1, 2 и 3).

 

Порядок расчета составного сечения

 

Рассмотрим сечение, имеющее две оси симметрии (рис. 8.6). Разбиваем это составное сечение на элементарные: I, II – прямоугольники, III круг.

Решение.

1. Определение центра тяжести. В качестве вспомогательных осей выбираем оси круга , . В этом случае координата центра тяжести = 0, т.к. центр тяжести сечения должен быть на оси симметрии . На основании формулы (8.10) получим:

где ; ;

; ; ; .

Проводим центральные оси , . Эти оси являются главными центральными осями сечения (см. раздел 8.5).

2. Определение главных центральных моментов инерции. Для определения главных центральных моментов инерции применим формулы параллельного переноса (8.11 – 8.13), а также формул (8.6, 8.7) и (8.23):

где = –3,32 см; = 0,68 см; = 1,68 см.

Так как оси , , ,  совпали, то главный центральный момент инерции всего сечения относительно оси  определим как алгебраическую сумму осевых моментов составляющих сечений:

           

 

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяются координаты центра тяжести составного сечения?

2. Каким свойством обладают центральные оси сечения?

3. Что представляет собой статический момент сечения, полярный, осевой и центробежный моменты инерции? Их свойства.

4. Какая зависимость существует между полярными и осевыми моментами инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей?

5. Какая зависимость существует между осевыми моментами инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр тяжести сечения?

6. Какая зависимость существует между осевыми, центробежными моментами инерции при параллельном переносе осей, одни из которых являются центральными?

7. Относительно каких осей, параллельных центральным, осевые и центробежный моменты инерции будут наименьшими?

8. По каким формулам определяются моменты инерции простых сечений: прямоугольника, круга, треугольника?

9. Какие зависимости существуют между моментами инерции при повороте осей координат?

10. Какие оси называются главными, главными центральными и какими они обладают свойствами?

11. Как определяется положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции?

12. Для каких сечений можно без вычислений определить положение главных осей?

13. Сколько можно провести через центр тяжести центральных осей, главных осей?

14. Что представляют собой осевые моменты сопротивления, их размерность?

15. Что представляют собой радиусы инерции, их размерность?

16. Как вычислить центробежные моменты инерции равнобокого и неравнобокого уголков при их различных положениях?

17. Какое положение занимают главные центральные оси инерции относительно осей , , если известно, что  , а ?

18. Какое положение занимают главные центральные оси инерции относительно осей , , если известно, что , а ?

 

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1995. – 560 с.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1986. – 544 с.

3. Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. - Киев: Наукова думка, 1983. – 672 с.

4. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1976. – 608 с.

5. Долинский Ф.В., Михайлов М.М. Краткий курс сопротивления материалов. - М.: Высш. шк., 1988. – 432 с.

6. Спепин П.А. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1987. – 303 с.

7. Пирогов А.Н., Грачев В.Н., Гутиков В.П. Лабораторный практикум по курсу сопротивления материалов. - Кемерово:     КемТИПП, 1988. – 94 с.

8. Пирогов А.Н. Сопротивление материалов. – Учебно-методи-ческий комплекс для студентов механических специальностей заочной (дистанционной) формы обучения. Учебное пособие. - Кемерово: КемТИПП, 2002.