Удельная потенциальная энергия формоизменения

При деформации элемента (рис. 4.10) изменяются как его объем, так и форма (из кубика он превращается в параллелепипед). Тогда

. Откуда ,              (4.40)

где  и  – соответственно, удельная потенциальная энергия изменения объема и изменения формы.

Эти выражения потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных с пластическими деформациями и предельными состояниями. Деление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие условно и производится по следующему принципу (рис. 4.11). Каждое из главных напряжений представим в виде суммы двух величин:

. (4.41)

Тогда заданное НС можем представить как сумму двух НС: всестороннего растяжения  и второго НС, дополнительного до основного (  и ).

Рис. 4.11

 

При всестороннем растяжении очевидно, что элемент будет изменять только объем, а форма его останется прежней. Тогда из (4.33) и (4.39) получим:

. (4.42)

Складывая левые и правые части (4.41) для второго дополнительного НС, получим

.                        (4.43)

Основываясь на выводах раздела 4.5, подставив (4.42) в (4.33), получим

                                                  

Т.е. во втором дополнительном НС изменение объема  отсутствует, а следовательно, изменяется только форма элемента. Тогда, подставив в формулу (4.40) выражения (4.39) и (4.42), получим после преобразований для удельной потенциальной энергии формоизменения:

   ,

или                                                                                            (4.44)

          .

 

Вопросы для самоконтроля

1. Какое напряженное состояние называется пространственным (трехосным), плоским (двухосным) и линейным (одноосным)?

2. Каково правило знаков для нормальных и касательных напряжений?

3. Сформулируйте закон парности касательных напряжений?

4. Чему равна сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно перпендикулярных площадках?

5. Что представляют собой главные напряжения и главные площадки? Как расположены главные площадки друг относительно друга?

6. Чему равны касательные напряжения на главных площадках?

7. Как определить главную площадку, по которой действует главное напряжение  в общем случае плоского напряженного состояния?

8. Чему равны наибольшие значения касательных напряжений в случае плоского напряженного состояния?

9. Напишите формулы, выражающие обобщенный закон Гука.

10. На основе какого из допущений, принятых в курсе сопротивления материалов, составлены выражения обобщенного закона Гука?

11. Выведите формулу относительного изменения объема при пространственном напряженном состоянии. Какова размерность относительного изменения объема?

12. Что называют полной удельной потенциальной энергией деформации и из каких частей она состоит?

13. Какова размерность удельной потенциальной энергии?

14. В каких пределах применимы формулы для определения объемной деформации и потенциальной энергии?