Определение нормальных напряжений при чистом изгибе балки

Рассмотрим консольную балку произвольного поперечного се­чения, постоянного по длине, нагруженную в вертикальной плос­кости моментом   (рис. 7.8,а). При такой нагрузке  = 0, а  = = .

При прямом чистом изгибе балки справедливы:

1. Гипотеза плоских сечений Бернулли – сечения плоские и нор­мальные к оси балки до деформации остаются плоскими и нормаль­ными к ее оси и после деформации.

2. Гипотеза о ненадавливаемости волокон: нормальные напряжения в продольных сечениях балки не возникают.

Т.к. поперечные силы  = 0, то можно предположить, что не возникают в плоскости поперечных сечений и касательные нап­ряжения.

Двумя поперечными сечениями  и  +  вырежем из балки элемент длиной  (рис. 7.8, б). На его торцах возникнут изги­бающие моменты , которые вызовут деформацию изгиба (рис. 7.8, в): продольная ось  (волокно ) изогнется и получит ра­диус кривизны , длина же слоя     не изменится, т.е. . Поперечные сечения при этом взаимно повернутся на угол . Во­локно , расположенное на расстоянии  от продольной оси   (от слоя ), удлинится и займет положение .

Относительное удлинение волокна :

. (7.5)

Т.к. каждое волокно согласно принятым выше гипотезам ис­пытывает одноосное напряженное состояние, то, применив закон Гука, получим с учетом (7.5):      

                                .                                    (7.6)

Таким образом, нормальные напряжения распределяются по ли­нейному закону. Определим их из условия равновесия элемента балки (рис. 7.9). При равновесии должны соблюдаться шесть уравнений равновесия: 1. Т.к. внутренние силы  перпендику­лярны осям  и , то ; .2.  или .

Используя (7.6), получим

,

но ;  (ось балки изогнута). Следовательно,  [м³].               

Статический момент площади  равен нулю относительно цент­ральной оси. Следовательно, нейтральная ось при изгибе совпадает с центральной осью поперечного сечения.

3. Уравнение  обращается в тождество, т.к. внутренние силы  параллельны оси .

4. Уравнение  дает . Используя формулу (7.6), получим   

.

Т.к. , то тогда центробежный момент инерции . Тогда  и  – главные оси сечения, а момент  должен лежать в главной плоскости, что и выполняется. Отсюда следует: силовая линия и нейтральная ось взаимно перпендикулярны.

5. Приравниваем нулю сумму моментов сил относительно оси : ; ; с учетом (7.6) получим:

  или ,               (7.7)

где  – кривизна нейтрального слоя балки;  – жес­ткость поперечного сечения балки на изгиб относительно оси . Уравнение (7.7) называют основным уравнением изгиба.

Подставив (7.7) в (7.6), получим искомую формулу:

                                              ,                                    (7.8)

где  – внутренний изгибающий момент в сечении, в котором оп­ределяют  [Н×м];  – осевой момент инерции поперечного сечения от­носительно нейтрального слоя [м⁴];   –расстояние от нейтраль­ного слоя до слоя, в котором определяют напряжения [м].

Эпюра нормальных напряжении  в соответствии с формулой (7.8) представлена на рис. 7.10. Наибольшие напряжения возни­кают в крайних волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси поперечного сечения балки.