Решение нелинейных уравнений

Общий вид

Рассмотрим уравнения вида f(x)=0. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Эти уравнения не всегда могут быть решены аналитически. Например, если решения уравнения вида ax²+bx+c=0 могут быть найдены по формулам Виета, то, например, решить уравнение типа x=1-sinx в элементарных функциях уже не удается. В этих случаях применяют различные численные методы решения нелинейных уравнений.
Таким образом, при решении алгебраических и трансцендентных уравнений, встречающихся на практике, не всегда удается найти точное решение. Поэтому приходится применять различные приближенные способы определения корней. В общей постановке задачи обычно требуют непрерывность функции f(x), корни которой ищутся с заданной точностью. Решение при этом разбивается на два этапа:
1.ЛОКАЛИЗАЦИЯ корней, т.е. выделение непересекающихся отрезков, каждый из которых содержит по одному корню.
2.УТОЧНЕНИЕ корней, т.е. вычисление корня на каждом из отрезков с нужной точностью.
Первая часть задачи обычно решается либо с использованием примерного графика функции, либо с помощью исследования знака функции и, как правило, не включается в стандартный курс вычислительной математики.
Рассмотрим следующий простейший пример: определить количество и приближенное расположение корней уравнения sinx-0,2x=0. Переписывая это выражение в виде sinx=0,2x и учитывая, что значения функции y=sinx лежат между -1 и 1, находим, что корни уравнения могут быть только на отрезке [-5,5]. Ясно, что один из корней - это x=0. Если же на отрезке [-5,5] нарисовать график функций y₁(x)= sinx и y₂(x)=0,2x, то легко видеть, что точки их пересечения (а это и есть корни уравнения) расположены на отрезках [-3,-2] и [2,3]. Таким образом, уравнение исходное уравнение sinx-0,2x=0 имеет 3 различных корня.
Рассмотрим уравнения вида F(x)=0. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;... корней. Эти уравнения не всегда могут быть решены аналитически. Например, если решения уравнения вида ax²+bx+c=0 могут быть найдены по формулам Виета, то, например, решить уравнение типа x=1-sinx в элементарных функциях уже не удается. В этих случаях применяют различные численные методы решения нелинейных уравнений.
Всюду далее будем считать, что уравнение F(X)=0 задано на отрезке [a,b], на котором расположен ровно один его корень, и исследовать решение второй части задачи - уточнение корней.
Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений, которые позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом будем предполагать, что на заданном интервале существует только один корень.

Простейшие методы

Метод перебора

При решении нелинейного уравнения вида F(x)=0 методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)>0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x=x+h). Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x,x+h] существует решение уравнения.

Метод половинного деления

При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность e. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)F(c)<0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу(a=c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b-a|>e.

Метод хорд

При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и точность e. Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)·F(c)<<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)|< e. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой

 

Метод итераций

При решении нелинейного уравнения F(x)=0 методом итераций воспользуемся записью этого уравнения в виде x=f(x). Такая запись возможна всегда, например, если принять, что f(x)=x+F(x) или x=x+F(x). При решении уравнения x=f(x) задаются начальное значение аргумента x₀ и точность e. Первое приближение решения x₁ находим из выражения x₁=f(x₀), второе - из x₂=f(x₂) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле x_i+1=f(x_i). Указанную процедуру повторяем пока |x_i+1-x_i|>e. Условие сходимости метода итераций |f'(x)|<1.

Метод Ньютона

Знаменитый метод Ньютона является одним из наиболее эффективных методов решения самых разнообразных нелинейных задач.
Раскладывая функцию F(x) в ряд Тейлора вблизи точки x=x_i, получим, ограничиваясь первым членом разложения
F(x_i)+F´(x_i)·(x_i+1–x_i)=0
откуда
x_i+1=x_i-F(x_i)⁄F´(x_i)
Условие сходимости метода FF´´>0
На практике иногда избегают дифференцирования функции F(x)б заменяя значение ее производной тем или иным приближенным выражением, например, следующим

 

Примеры программ, реализующих описанные выше методы на языке BASIC, приведены в Лабораторная работа №5