Необходимые и достаточные условия экстремума скалярной целевой функции

Рассмотрим следующую одномерную (скалярную) задачу нелинейного программирования
f(x)→min, x∈X
где под f(x) понимается действительная функция одной переменной x, а под множеством X − отрезок [a,b].
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда, в соответствии с теоремой Вейерштрасса, она достигает на этом отрезке максимального значения. Максимальное значение может достигаться либо на одном из концов отрезка, либо в точке экстремума внутри него. В последнем случае в точке экстремума значение производной функции f(x) равно нулю или же она терпит там разрыв.
Не следует думать, что если в некоторой точке x=x₀ внутри интервала [a,b] имеет место f′(x₀)=0, то функция достигает своего максимального значения на отрезке [a,b] именно в точке x=x₀. В качестве иллюстрации на рис. 11.8 приведен пример функции f(x), для которой f′(x₁)=0, однако максимального значения эта функция достигает при x=b. В то же время, хотя f′(x₂)=0, минимальное значение функция достигает при x=a.

Рис. 11.7. Функция y=f(x) имеет
при x=a − глобальный минимум
при x=x₁ − локальный максимум
при x=x₂ − локальный минимум
при x=b − глобальный максимум

Возможны различные ситуации в зависимости от знака первой и второй производной функции f(x). Например, если во всех точках интервала (a,b) имеет место f′(x)>0, то функция возрастает на этом отрезке, а если f′(x)<0, то убывает.
Если во всех точках интервала (a,b) имеет место f″(x)>0, то функция на этом обращена выпуклостью вниз. Такие функции в нелинейном программировании принято называть вогнутыми.
Если же во всех точках интервала (a,b) имеет место f″(x)<0, то функция на этом обращена выпуклостью вверх. Такие функции в нелинейном программировании принято называть выпуклыми.

Возрастающая Вогнутая	Убываающая Вогнутая	Возрастающая Выпуклая	Убывающая Выпуклая

Рис. 11.11. Поведение функции y=f(x) в зависимости от знака первой и второй производных

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f′(x₀)=0, f″(x₀)>0, где a<x₀<b. Тогда функция y=f(x) имеет в точке x=x₀ локальный минимум. Если имеет место f′(x₀)=0, f″(x₀)<0, функция y=f(x) имеет в точке x=x₀ локальный максимум.
Если имеет место f″(x₀)=0, то функция y=f(x) имеет в точке x=x₀ точку перегиба. На рис. 11.9 и 11.10 схематически проиллюстрированы различные возможные ситуации в зависимости от соотношения между значениями первой и второй производной функции f(x).

Локальный максимум	Локальный минимум	Точка перегиба

Рис. 11.9. Поведение функции y=f(x)при f′=0 в зависимости от значения второй производной

Функция возрастает f′>0	Функция убывает f′<0	Функция возрастает f′=0	Функция убывает f′=0

Рис. 11.10. Поведение функции y=f(x)при f″=0 в зависимости от значения первой производной

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f′(x₀)=0, f″(x₀)=0, где a<x₀<b. Тогда поведение функции в точке x=x₀ определяется значением производных высшего порядка. Если первая не обращающаяся в нуль производная f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) есть производная нечетного порядка, то функция f(x) не имеет в точке x=x₀ ни максимума, ни минимума. При этом f(x) возрастает, если f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0 и убывает, если f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0.
В качестве примера рассмотрим функцию y=x³. Для нее f′(x)=3x², f″(x)=6x и f′′′(x)=6. Легко видеть, что в точке x=x₀=0 имеют место соотношения: f′(0)=0, f″(0)=0 и f′′′(0)=6>0. Таким образом, для функции y=x³ первая не обращающаяся в нуль производная есть производная третьего (т.е. нечетного) порядка. Это означает, что функция y=x³ является возрастающей при x=0 (см. рис. 11.11). Аналогичным образом можно заключить, что функция y=−x³ в точке x=0 является убывающей (рис. 11.12).

Рис. 11.11. Функция y=x^3 возрастает при x=0 f′(0)=0, f″(0)=0 и f′′′(0)=6>0	Рис. 11.12. Функция y=−x^3 убывает при x=0 f′(0)=0, f″(0)=0 и f′′′(0)=−6<0

Если же первая не обращающаяся в нуль производная f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) есть производная четного порядка, то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x=x₀, если f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0. Если же f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0, то функция f(x) в этом случае имеет в точке x=x₀ локальный минимум.
В качестве примера рассмотрим функцию y=x⁴. Для нее f′(x)=4x³, f″(x)=12x², f′′′(x)=24x и f^(IV)(x)=24>0. Легко видеть, что в точке x=x₀=0 имеют место соотношения: f′(0)=0, f″(0)=0, f′′′(0)=0 и f^(IV)(0)=24>0. Таким образом, для функции y=x⁴ первая не обращающаяся в нуль производная есть производная четвертого (т.е. четного) порядка, причем она положительна. Это означает, что функция y=x⁴ имеет локальный минимум в точке x=0 (см. рис. 11.13). Аналогичным образом приходим к выводу о том, что функция y=−x⁴ имеет при x=0 локальный максимум (рис. 11.14).