Численное решение дифференциальных уравнений

10.5.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях Дифференциальным уравнением (ДУ) первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y) (1) где у'=dy/dx - первая производная от неизвестной функции y(x) по ее аргументу x. Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением ДУ. График решения ДУ называют интегральной кривой. Процесс нахождения решений ДУ называется интегрированием. Решение ДУ находится обычно с точностью до произвольной постоянной. Для того чтобы выделить из семейства решений ДУ (1) одно конкретное решение, задают начальное условие y(x0)=y0 (2) Задачу нахождения решения ДУ (1) при начальном условии (2) называют задачей Коши.

Метод Эйлера

Этот метод для решения задачи Коши у'=f(x,y), y(a)=y0 (a<x<b) был описан Эйлером (1768) в его "Интегральном исчислении" (раздел второй, гл.VII). Перепишем дифференциальное уравнение в следующем виде: где h=x1-x0. Отсюда имеем расчетную формулу для первого шага y1=y0+hf(x0,y0). Повторяя процедуру, находим Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [xi, xi+1] отрезком касательной, проведённой к графику решения в точке xi.

Метод Эйлера-Коши

Расчетная формула модифицированного метода Эйлера, известная в литературе под названием метод Эйлера-Коши (или метод Хьюна, или метод Рунге-Кутта второго порядка): Если обратить внимание на то обстоятельство, что по сравнению с методом Эйлера мы просто заменили f(xi,yi) в методе Эйлера на среднее значение функции f, вычисленных в двух различных точках, то уместно оставить имя Эйлера в названии этого метода.

Методы Рунге-Кутта

Пусть известно значение решения в некоторой точке x и требуется вычислить значение y(x+h). Рассмотрим равенство Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, можно вычислить многими различными численными методами: по формулам прямоугольников, методом средних, по формуле трапеций или Симпсона и др. В зависимости от выбора метода численного интегрирования можно получить довольно широкий класс различных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В самом деле, если использовать для интегрирования формулу левых прямоугольников, получим расчетную формулу метода Эйлера, а если применить формулу трапеций получим модификацию метода Эйлера. В зависимости от выбора способа интегрирования в литературе принято выделять самые разнообразные методы интегрирования ОДУ, например, метод Рунге-Кутта третьего порядка. уi+1=уi+h(k1+4k2+k3)/6 k1=f(xi, yi) k2=f(xi+h/2, yi+hk1/2) k3=f(xi+h, yi+2hk2-hk1) xi+1=xi+h. Наибольшее распространение получил метод Рунге-Кутта четвертого порядка уi+1=уi+h(k1+2k2+2k3+k4)/6 xi+1=xi+h k1=f(xi, yi) k2=f(xi+h/2, yi+hk1/2) k3=f(xi+h/2, yi+hk2/2) k4=f(xi+h, yi+hk3) Здесь f(xi,yi) в методе Эйлера заменено на среднее взвешенное значение f, вычисленных в четырёх различных точках. Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений естественным образом разделяют на два класса. В один из них входят методы, использующие одно стартовое значение на каждом шаге (эти методы называются одношаговые методы), а другой образуют методы опирающиеся на несколько значений решения (многошаговые методы). Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка является одношаговым, так же как и метод Эйлера, который иногда называют методом Рунге-Кутта первого порядка.

Примеры программ, реализующих описанные выше методы на языке BASIC, приведены в Домашнее задание по теме №3

Суммирование рядов

10.6.1. Основные понятия из теории рядов 10.6.1.1. Числовые ряды Пусть задана последовательность чисел {u1+u2+…+un}. Выражение называется числовым рядом, un - общим членом ряда, а сумма sn=u1+u2+…+un - n-той частичной суммой ряда. Если существует конечный предел то ряд называется сходящимся, а S - суммой ряда. При этом пишут Если этот предел не существует или равен бесконечности, ряд называется расходящимся.

10.6.1.2. Функциональные ряды Функциональным рядом называется ряд членами которого являются функции un(x), определенные на некотором множестве X. Функциональный ряд называется сходящимся в точке x0∈X, если сходится числовой ряд Сумма ряда является функцией x, определенной в области сходимости

10.6.1.3. Степенные ряды Ряд вида называется степенным рядом, а постоянные an называются коэффициентами степенного ряда

10.6.1.4. Ряды Тейлора и Маклорена Как известно из курса высшей математики, любая бесконечно дифференцируемая функция y(x) может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности точки x0: или где использованы обозначения n!=1·2·3·...·n (факториал), причем 0!=1 и y^(0)=y(x0). Частным случаем ряда Тейлора при (x0=0) является ряд Маклорена Частичные суммы Величина Sn называется n-той частичной суммой ряда Маклорена. Очевидно, что