Численное решение дифференциальных уравнений

10.5.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях Дифференциальным уравнением (ДУ) первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y) (1) где у'=dy/dx - первая производная от неизвестной функции y(x) по ее аргументу x. Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением ДУ. График решения ДУ называют интегральной кривой. Процесс нахождения решений ДУ называется интегрированием. Решение ДУ находится обычно с точностью до произвольной постоянной. Для того чтобы выделить из семейства решений ДУ (1) одно конкретное решение, задают начальное условие y(x0)=y0 (2) Задачу нахождения решения ДУ (1) при начальном условии (2) называют задачей Коши.

Метод Эйлера

Этот метод для решения задачи Коши у'=f(x,y), y(a)=y0 (a<x<b) был описан Эйлером (1768) в его "Интегральном исчислении" (раздел второй, гл.VII). Перепишем дифференциальное уравнение в следующем виде: где h=x1-x0. Отсюда имеем расчетную формулу для первого шага y1=y0+hf(x0,y0). Повторяя процедуру, находим Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [xi, xi+1] отрезком касательной, проведённой к графику решения в точке xi.

Метод Эйлера-Коши

Расчетная формула модифицированного метода Эйлера, известная в литературе под названием метод Эйлера-Коши (или метод Хьюна, или метод Рунге-Кутта второго порядка): Если обратить внимание на то обстоятельство, что по сравнению с методом Эйлера мы просто заменили f(xi,yi) в методе Эйлера на среднее значение функции f, вычисленных в двух различных точках, то уместно оставить имя Эйлера в названии этого метода.

Методы Рунге-Кутта

Пусть известно значение решения в некоторой точке x и требуется вычислить значение y(x+h). Рассмотрим равенство Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, можно вычислить многими различными численными методами: по формулам прямоугольников, методом средних, по формуле трапеций или Симпсона и др. В зависимости от выбора метода численного интегрирования можно получить довольно широкий класс различных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В самом деле, если использовать для интегрирования формулу левых прямоугольников, получим расчетную формулу метода Эйлера, а если применить формулу трапеций получим модификацию метода Эйлера. В зависимости от выбора способа интегрирования в литературе принято выделять самые разнообразные методы интегрирования ОДУ, например, метод Рунге-Кутта третьего порядка. уi+1=уi+h(k1+4k2+k3)/6 k1=f(xi, yi) k2=f(xi+h/2, yi+hk1/2) k3=f(xi+h, yi+2hk2-hk1) xi+1=xi+h. Наибольшее распространение получил метод Рунге-Кутта четвертого порядка уi+1=уi+h(k1+2k2+2k3+k4)/6 xi+1=xi+h k1=f(xi, yi) k2=f(xi+h/2, yi+hk1/2) k3=f(xi+h/2, yi+hk2/2) k4=f(xi+h, yi+hk3) Здесь f(xi,yi) в методе Эйлера заменено на среднее взвешенное значение f, вычисленных в четырёх различных точках. Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений естественным образом разделяют на два класса. В один из них входят методы, использующие одно стартовое значение на каждом шаге (эти методы называются одношаговые методы), а другой образуют методы опирающиеся на несколько значений решения (многошаговые методы). Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка является одношаговым, так же как и метод Эйлера, который иногда называют методом Рунге-Кутта первого порядка.

Примеры программ, реализующих описанные выше методы на языке BASIC, приведены в Домашнее задание по теме №3

Суммирование рядов