Векторная форма записи системы.

Пусть . Тогда система (2.14.1) можно записать в виде

 

 

Опр. Вектор-функция  называется частным решением системы (2.14.1) на , если при ее подстановке в (2.14.1) все уравнения системы (2.14.1) обращаются в тождества на .

Задача Коши для системы (1).

Найти частное решение , удовлетворяющее начальным условиям

где точка .

В векторной форме начальные условия имеют вид

где

Опр.  Семейство вектор-функций , зависящих от  произвольных постоянных, называется общим решением системы (2.14.1), если

1.  вектор-функция  является частным решением.

2. Для такие, что  удовлетворяет начальному условию (2.14.2).

Векторная форма общего решения -

.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем.

Пусть функции  и их частные производные  непрерывны в области огда

Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе. Рассмотрим ДУ -го порядка

Введем обозначения:

.

Тогда уравнение (2.14.3) равносильно системе

Пример.

.

Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка.

Рассмотрим случай

Сведем к ДУ 2-го порядка. Из 1-го уравнения

Если из 1-го уравнения системы можно выразить , то для  получим уравнение 2-го порядка:

 (общее решение ДУ 2-го порядка).

Тогда .

Пример.
.

  

Продифференцируем 1-е уравнение:

.

Из 1-го уравнения:

Характеристическое уравнение полученного ЛОДУ с постоянными коэффициентами:

 

2.15.Автономные системы ДУ. Фазовое пространство и фазовые траектории. Первые интегралы систем ДУ. Симметричная форма записи систем ДУ и ее применение к нахождению первых интегралов.

 

 

– нормальная система ОДУ.

 – независимая переменная,

 – независимые функции,

 – определены в области .

Если  не зависят явно от , то система (2.15.1) является автономной.

Фазовая плоскость.

Рассмотрим

Пусть вектор-функция  – частное решение автономной системы . Рассмотрим на плоскости  кривую , заданную параметрическими уравнениями

Кривая  – фазовая кривая системы  на фазовой плоскости . Если система удовлетворяет условию теоремы существования и единственности, т.е.  имеют непрерывные частные производные первого порядка в области , то через каждую точку области  проходит ровно одна фазовая кривая.

           Касательный вектор к фазовой кривой в произвольной точке (см. рис. 41):

Рис. 41

Рассмотрим как функцию , заданную параметрически, тогда

Таким образом фазовые кривые системы  интегральными кривыми ДУ 1-го порядка

Пример.

ДУ фазовых кривых:

Рис. 42

Первые интегралы нормальных систем ДУ.

Опр.  Равенство

 

называется первым интегралом системы в области , если выполняется 2 условия:

1. Функция  имеет непрерывные частные производные 1-го порядка в области  и для , что .

2. Для  решения системы

.                                

Первый интеграл позволяет понизить число уравнений в системе. Пусть в т. . Тогда по теореме о неявной функции из  можно в некоторой окрестности т.  выразить

Подставив  в уравнения системы , начиная со второго, получим систему из (n-1) уравнения:

Чтобы полностью решить систему , нужно знать  независимых первых интегралов:

Независимость первых интегралов означает, что ни один из них не может быть выражен через остальные. Система  независимых первых интегралов  неявно задает решение системы.

Симметричная форма записи нормальных систем ДУ:

Получив из симметричной формы системы интегрируемые комбинации (полные дифференциалы), можно найти 1-е интегралы. При нахождении интегрируемых комбинаций удобно использовать следующее свойство пропорций:

Пример 1.

Симмметричная форма системы:

По свойству пропорций получаем

                                                                            

 

 

 

Аналогично

 

 

 

Пример 2.

Для автономной системы найдем два независимых 1-х интеграла, не содержащих

Симметричная форма системы:

 - (1-й интеграл).

Чтобы найти второй 1-й интеграл запишем симметричную форму системы в виде

 

,

 

 

Таким образом, найденные первые интегралы задают фазовые кривые системы:

Пример 3.

Симметричная форма:

,

-  1-й интеграл.

 

 - 1-й интеграл.

 

 

2.16.Нормальные системы ЛДУ, однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Линейность пространства решений системы ЛОДУ. Вронскиан системы вектор-функций и его свойства. Теорема о размерности пространства решений системы ЛОДУ. Структура общего решения. Фундаментальная система решений.

 

 

– нормальная система ЛНДУ, здесь ,  – функции, непрерывные на некотором интервале

Если , то  – система ЛОДУ.

Матричная форма системы ЛДУ :

где

матрица

.

Соответствующая

Теорема. Множество всех частных решений системы ЛОДУ  является линейным пространством относительно операций сложения вектор-функций и их умножения на число.

Док-во: пусть  – решения системы . Рассмотрим вектор-функцию . Имеем

т.е.  – решение

Аналогично при  и вектор-функции  получаем

т.е.  удовлетворяет системе  решения  образуют линейное пространство.