Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

Пусть функция  определена на .

Опр. Разбиением  отрезка  называется совокупность точек , где .

 – элементарный отрезок (),

,  – диаметр разбиения .

Выберем произвольные точки

Рис. 1

Опр. Интегральной суммой функции , соответствующей разбиению  отрезка  и выбору точек  () называется величина (см. рис. 1).

Опр. Определенным интегралом функции  на отрезке  называется конечный предел при  интегральных сумм , если он существует и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек .

Обозн.: , т.е.

Тогда масса неоднородного стержня: ; координата точки: .

Опр. Если для функции  существует , то функция называется интегрируемой (по Риману) на .

Теорема (необходимое условие интегрируемости.)

Пусть функция  интегрируема на , тогда  ограничена на .

Теорема (достаточное условие интегрируемости 1).

Непрерывная на  функция  является интегрируемой на

Теорема (достаточное условие интегрируемости 2).

Пусть  непрерывна на  кроме конечного числа точек разрыва первого рода , тогда  является интегрируемой на

Геометрическая интерпретация определенного интеграла. , непрерывна на

Рис. 2

.

 – площадь прямоугольника  со сторонами (см. рис. 2).

 – площадь ступенчатой фигуры

При  получим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  сверху, осью  снизу и прямыми .

 

 

Свойства определенного интеграла

1. Линейность

Пусть функции  и  интегрируемы на  Тогда

a. функция  интегрируема на  и

b. функция  () интегрируема на  и

Док-во:

a. составим интегральную сумму для функции

Тогда

b. Аналогично

Тогда

 

2. Аддитивность (см. рис. 3).

Пусть функция  интегрируема на , точка , тогда

Док-во:

Рассмотрим разбиение  отрезка  такое, что  для некоторого . Ему соответствуют разбиения отрезков  и , соответственно,  и

Рис. 3

Т.е.

Замечание. Если , то по определению ,

. Тогда равенство (1.4.1) справедливо при любом взаимном расположении точек ,

 

Теорема (об оценке определенного интеграла)

Пусть  интегрируема на , .

Тогда

                   .

Док-во: . Т.к. , то ,

При  получим

Рис. 4

Геометрическая интерпретация:

 (площаль криволинейной трапеции заключна между площадьми прямоугольников высотой m и M.) (см. рис. 4).

Следстви e (интегрирование неравенства).

Пусть  на , тогда .

Док-во: рассмотрим функцию  на . Возьмем . По теореме об оценке

Пример.

  т.к. , то . По теореме об оценке

 

Теорема (о среднем значении для определенного интеграла).

Пусть  непрерывна на . Тогда  такая, что .

Док-во: т.к.  непрерывна на , то она достигает на  своего наибольшего и наименьшего значений ,  По теореме об оценке , (равенство возможно только для т.е. для непрерывных функций, отличных от константы . По теореме о промежуточном значении непрерывной функции: . Возьмем .