Интегральное исчисление функций одного переменного

Интегральное исчисление функций одного переменного

 

Первообразная. Теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

 

Опр. Функция называется первообразной функции  на , если .

Пример.  – первообразная функции  на интервале

Теорема 1 (об арифметических свойствах  первообразной).

Пусть  и  – первообразные функций  и  соответственно. Тогда функция  – первообразная функции  (  

Док-во: , т.е.  функция  – первообразная функции

Теорема 2 (об общем виде первообразной).

Пусть  – первообразная функции . Тогда любая первообразная функции  имеет вид

, где

Док-во: т.к. , то  – тоже первообразная функции . Покажем, что любая первообразная имеет вид . Пусть  – первообразная функции . Рассмотрим функцию : . Рассмотрим произвольные . т.е. . Значит,

Опр. Совокупность всех первообразных функции  называется неопределенным интегралом от функции .

Обозн.: .

Пусть  – первообразная функции . Тогда , где  – произвольная постоянная.

Пример.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.   или

4. , где

Док-во:

1. , где  – первообразная функции

2. .

3. Т.к.  – первообразная , то .

4. Пусть  и  – первообразные функций  и  соответственно.

Тогда функция  – первообразная функции  (. Отсюда

Таблица интегралов:

1.

2. . (Т.к. при

3.   ()

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11. ,   (длинный логарифм)

12. ,

13. или (высокий логарифм)

14.

15.

16.

17.

Примеры.

 

Интегрирование подстановкой и по частям. Примеры. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

 

Подведение под знак дифференциала.

Пусть  – первообразная функции  на , т.е. . Рассмотрим замену , где  – дифференцируемая на  функция, .

Рассмотрим сложную функцию , .

, т.е.  – первообразная для , т.е. , или , или ,

                       

Примеры.

1.

2.

3. .

 

Замена переменной. Поменяем в (1.2.1) местами  и :  ,

где  определена на ,  дифференцируема на , причем .

Пусть  обратная функция  . Заменим  на :

Т.е.

Пример.

Интегрирование по частям

Пусть функции  и  дифференцируемы на . Тогда , т.е.

Док-во: , т.е.

, т.е. ,

Примеры.

1. .

2. .

3. ,

 т.е. , т.е.

.

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

I.  , .

Выделим полный квадрат, получим табличный интеграл (10-13)

Примеры.

1. .

2. .

II. , .

Выделим в числителе производную квадратного трехчлена , т.е. представим числитель в виде

где  – находится с помощью выделения полного квадрата.

Аналогично

 

где  .

Примеры.

1.

2.

Интегрирование иррациональных функций.

I. .

Замена , –общий знаменатель  (Н.О.К. ).

Пример.

II.

Замена

Пример.

III. .

Выделив полный квадрат, получим интеграл одного из видов:

a)

Замена

Пример.

b) .

Замена .

Пример.

c) .

Замена

Пример.

 

 

Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:

  («неберущиеся» интегралы).

Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Линейность и аддитивность определенного интеграла.

 

Док-во:

a. составим интегральную сумму для функции

Тогда

b. Аналогично

Тогда

 

2. Аддитивность (см. рис. 3).

Пусть функция  интегрируема на , точка , тогда

Док-во:

Рассмотрим разбиение  отрезка  такое, что  для некоторого . Ему соответствуют разбиения отрезков  и , соответственно,  и

Рис. 3

Т.е.

Замечание. Если , то по определению ,

. Тогда равенство (1.4.1) справедливо при любом взаимном расположении точек ,

 

Теорема (об оценке определенного интеграла)

Пусть  интегрируема на , .

Тогда

                   .

Док-во: . Т.к. , то ,

При  получим

Рис. 4

Геометрическая интерпретация:

 (площаль криволинейной трапеции заключна между площадьми прямоугольников высотой m и M.) (см. рис. 4).

Следстви e (интегрирование неравенства).

Пусть  на , тогда .

Док-во: рассмотрим функцию  на . Возьмем . По теореме об оценке

Пример.

  т.к. , то . По теореме об оценке

 

Теорема (о среднем значении для определенного интеграла).

Пусть  непрерывна на . Тогда  такая, что .

Док-во: т.к.  непрерывна на , то она достигает на  своего наибольшего и наименьшего значений ,  По теореме об оценке , (равенство возможно только для т.е. для непрерывных функций, отличных от константы . По теореме о промежуточном значении непрерывной функции: . Возьмем .

 

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть  непрерывна на ,  – ее первообразная. Тогда .

Док-во: пусть  – произвольная первообразная. Рассмотрим  – также первообразная. Тогда . Возьмем . Т.к. , то , т.е. . При :  или :

Пример.

.

 

 

Свойство линейности.

Если ,  сходятся, то сходятся интегралы

 .

Аналогично для .

Геометрический смысл:

при  – площадь фигуры, ограниченной линиями  (см. рис. 15).

Рис. 15

 – несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .

 

 – несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой

Рис. 16

Свойство линейности.

Если ,  сходятся, то сходятся интегралы

 .

Примеры несобственных интегралов с несколькими особыми точками

1.

Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части:

a. .

b. .

.

(несобственный интеграл 2-го рода + несобственный интеграл 1-го рода ).

a.  – сходится при

b.  – сходится при

Значит,  расходится для любого .

.

a.

При

b.

При .

Таким образом исходный интеграл расходится.

Объемы тел вращения.

Рис. 26

Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси  (см. рис. 26).

Найдем объем  тела вращения. Зафиксируем . Сечение тела плоскостью  – круг радиуса . Тогда

Ту же фигуру вращаем вокруг оси  (см. рис. 27).

 

 

Рис. 27

Рассмотрим малый отрезок , где . При вращении соответствующей части фигуры получаем тело объема , где  – площадь кольца радиусов  и  соответственно:

Тогда

Суммируя по тонким "слоям", получим

Общий случай:

 

 

Таким образом получаем для вращения фигуры, ограниченной линиями , имеем

 

При вращении фигуры, ограниченной линиями  (см. рис. 28).

Рис. 28

 

 

Длина дуги кривой.

Пусть дуга  задана параметрическими уравнениями:

Функции  имеют на  непрерывные производные.

 ,

Рассмотрим переменную точку

 – переменная дуга длиной .

Дифференциал дуги

 – длина всей дуги.

Случай плоской кривой:

Случай графика функции :

Случай кривой, заданной в полярных координатах:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). ДУ 1-го порядка. Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ.

Рис. 30

Рассмотрим на плоскости семейство эллипсов

 – произвольная положительная постоянная (см. рис. 30).

Найдем семейство кривых, ортогональных семейству эллипсов.

1. Составим дифференциальное уравнение (ДУ) семейства эллипсов.

Продифференцируем уравнение (2.1.1), считая :

Отсюда  - ДУ семейства эллипсов.  Тогда =

2. Составим ДУ ортогонального семейства. В т.  угловой коэффициент касательной должен быть равен , т.е. ДУ ортогонального семейства:

.

3. Найдем уравнение ортогонального семейства:

Получаем  – семейство парабол.

Линейные ДУ (ЛДУ) n-го порядка: однородные (ЛОДУ) и неоднородные (ЛНДУ). Теорема существования и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ЛОДУ.

 

ЛДУ n-го порядка (неоднородное):

Коэффициенты  и правая часть  – функции, непрерывные на  или на . Для . Разделим на . Получим ДУ вида

(2.6.1)– ЛНДУ го порядка. Соответствующее ЛОДУ:

Задача Коши для ДУ: найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям:

где .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ го порядка

Пусть  непрерывны на . Тогда для  точки  и решение задачи Коши (2.6.1),(2.6.2), причем оно определено на всем интервале .

           Рассмотрим левую часть ЛДУ (2.6.1) и (2.6.1₀) – дифференциальный оператор

 .

Покажем, что  является линейным оператором, т.е.  и , где .

,

Таким образом,  – линейный дифференциальный оператор.

Операторная форма ЛДУ:

ЛНДУ:

ЛОДУ:

Док-во: (от противного)

Пусть . Рассмотрим СЛАУ относительно :

Ее определитель , следовательно, система имеет ненулевое решение, т.е. , не все равные , такие, что выполняется система (2.7.3).

Рассмотрим частное решение ЛОДУ .

.

Оно удовлетворяет в т.  начальным условиям (в силу (2.7.3)):

Рассмотрим частное решение ЛОДУ

Оно удовлетворяет в т.  начальным условиям

.

Таким образом, частные решения ЛОДУ  и  удовлетворяют одним и тем же начальным условиям задачи Коши. По теореме о единственности решения задачи Коши , т.е. , т.е.  – линейно зависимы на  – противоречит условию линейной независимости .

Т.е.

Замечание. Пусть  – частные решения ЛОДУ . График функции  может иметь вид (см. рис. 37, 38):

Рис. 37	Рис. 38
(для линейно независимых решений)	(для линейно зависимых решений)

Не может иметь вид (см. рис. 39, 40):

Рис. 39

Рис. 40

Фазовая плоскость.

Рассмотрим

Пусть вектор-функция  – частное решение автономной системы . Рассмотрим на плоскости  кривую , заданную параметрическими уравнениями

Кривая  – фазовая кривая системы  на фазовой плоскости . Если система удовлетворяет условию теоремы существования и единственности, т.е.  имеют непрерывные частные производные первого порядка в области , то через каждую точку области  проходит ровно одна фазовая кривая.

           Касательный вектор к фазовой кривой в произвольной точке (см. рис. 41):

Рис. 41

Рассмотрим как функцию , заданную параметрически, тогда

Таким образом фазовые кривые системы  интегральными кривыми ДУ 1-го порядка

Пример.

ДУ фазовых кривых:

Рис. 42

Опр.  Равенство

 

называется первым интегралом системы в области , если выполняется 2 условия:

1. Функция  имеет непрерывные частные производные 1-го порядка в области  и для , что .

2. Для  решения системы

.                                

Первый интеграл позволяет понизить число уравнений в системе. Пусть в т. . Тогда по теореме о неявной функции из  можно в некоторой окрестности т.  выразить

Подставив  в уравнения системы , начиная со второго, получим систему из (n-1) уравнения:

Чтобы полностью решить систему , нужно знать  независимых первых интегралов:

Независимость первых интегралов означает, что ни один из них не может быть выражен через остальные. Система  независимых первых интегралов  неявно задает решение системы.

Симметричная форма записи нормальных систем ДУ:

Получив из симметричной формы системы интегрируемые комбинации (полные дифференциалы), можно найти 1-е интегралы. При нахождении интегрируемых комбинаций удобно использовать следующее свойство пропорций:

Пример 1.

Симмметричная форма системы:

По свойству пропорций получаем

                                                                            

 

 

 

Аналогично

 

 

 

Пример 2.

Для автономной системы найдем два независимых 1-х интеграла, не содержащих

Симметричная форма системы:

 - (1-й интеграл).

Чтобы найти второй 1-й интеграл запишем симметричную форму системы в виде

 

,

 

 

Таким образом, найденные первые интегра