Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин.

 

Пусть для ДУ выполняется условие существования и единственности, т.е. через любую точку  проходит ровно одна интегральная кривая - график частного решения .

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке  равен . Таким образом, в каждой точке области  ДУ (2.1.2) задает направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку  В  задано поле направлений (см. рис. 32).

Рис. 32

Опр. Изоклиной ДУ (2.1.2) называется кривая, во всех точках которой угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через заданную точку, одинаковый и равен заданному .

Уравнение изоклины:

Рис. 33

Пример.

Рис. 34

Уравнение изоклин:

Прямая  является изоклиной  и является интегральной кривой, т.к.  – частное решение ДУ, т.е. является асимптотой для интегральных кривых (другие интегральные кривые приближаются к этой прямой, но не пересекают ее, т.к. через одну точку проходит только одна интегральная кривая.)

При

При

Отсюда на прямой  находятся точки локального минимума решений ДУ.

.

  (см. рис. 34).

 

 

Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли) и их решение.

 

1. ДУ с разделяющимися переменными

или

.

Запишем ДУ в виде

Проинтегрируем:

 – общий интеграл,  – произвольная постоянная.

Замечание. Если уравнение  имеет корни , то функции  являются частными решениями ДУ.

Пример.

 – также  решение ДУ.

2. Однородные ДУ

Замена , тогда

Тогда, подставляя в ДУ получим

 – ДУ с разделяющимися переменными, находим .

Пример.

(x>0).

Замена: . Подставим в ДУ:

,

 – общий интеграл.

 – решение, т.е. , т.е. .

3. Линейные ДУ 1-го порядка.

 – линейное однородное ДУ (ЛОДУ) 1-го порядка.

 – линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) 1-го порядка.

I. ЛОДУ 1-го порядка.

 – с разделяющимися переменными

 – первообразная

(р  получаем при ).

II. ЛНДУ 1-го порядка.

a. Решим соответствующее ЛОДУ:  – произвольная постоянная

b. Решение ЛНДУ ищем методом вариации постоянной, т.е. в виде

Тогда

Подставим в ЛНДУ:

Находим ; интегрируем, находим .

Пример.

a. Соответствующее ЛОДУ:

b. Ищем решение ЛНДУ в виде  

Подставляем в ЛНДУ:

Проинтегрировав, получим

           Подставим в (2.3.1):

=

Замечание.  ДУ

сводится к ЛНДУ относительно обратной функции

Решаем методом вариации произвольной постоянной:

.

4. Уравнения Бернулли

,

.

Ищем решения в виде . Подставим в ДУ:

,

Найдем функцию  такую, что

 – ДУ с разделяющимися переменными (ЛОДУ).

Используя (2.3.2), получим

– ДУ с разделяющимися переменными. Найдем

Пример.

Найдем  из ДУ .

Подставим  в (2.3.3):

,

Тогда

Замечание. ДУ

сводится к ДУ Бернулли относительно функции :

Решение ищем в виде