Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Сведение ДУ Бернулли к лнду.
Разделим на (при – решение): Пусть , тогда , Подставим в ДУ: Пример. (ДУ Бернулли при ; – решение). Разделим на Замена Подставим, получим . Решая методом вариации постоянной, получим , т.е. и .
2.4. ДУ n-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при n=2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Краевая задача.
, – функция от переменных. ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:
определена в области . Опр. Функция называется частным решением ДУ (2.4.1)на интервале , если при ее подстановке в (2.4.1) получается тождество на . Задача Коши для ДУ n-го порядка Найти частное решение ДУ (2.4.1), удовлетворяющее начальным условиям: где точка . При задача Коши имеет вид , геометрический смысл: найти интегральную кривую, проходящую через точку плоскости и имеющую заданный угловой коэффициент касательной в т. . Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ n-го порядка Пусть функция и ее частные производные непрерывны в области . Тогда для точки , что на интервале существует и при том единственное решение задачи Коши. Рассмотрим следующий вопрос. Пусть для ДУ n-го порядка выполняется условие существования и единственности. При каких возможно расположение интегральных кривых (см. рис. 35, 36)?
Опр. Общим решением ДУ n-го порядка (2.4.1) называется семейство функций , зависящее от произвольных постоянных такое, что 1. Для фиксированной функция является частным решением ДУ (3). 2. Для точки такие, что частное решение удовлетворяет начальным условиям (2.4.2). Краевая задача для ДУ 2-го порядка: найти частное решение на отрезке [ , ] ДУ удовлетворяющее краевым условиям Опр. Равенство , неявно задающее общее решение ДУ n-го порядка называется общим интегралом ДУ n-го порядка.
Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.
1. (ДУ не содержит ) Замена Получаем для ДУ 1-го порядка: Находим . Тогда Пример. Замена Получаем для ДУ 1-го порядка: Замечание. ДУ , сводится к ДУ 2. (ДУ не содержит явно )
Замена . Подставим в ДУ: ДУ 1-го порядка относительно . Решая его, получаем общее решение . с разделяющимися переменными Пример. . Замена . Подставим в ДУ: Линейные ДУ (ЛДУ) n-го порядка: однородные (ЛОДУ) и неоднородные (ЛНДУ). Теорема существования и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ЛОДУ.
ЛДУ n-го порядка (неоднородное): Коэффициенты и правая часть – функции, непрерывные на или на . Для . Разделим на . Получим ДУ вида (2.6.1)– ЛНДУ го порядка. Соответствующее ЛОДУ: Задача Коши для ДУ: найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям: где . Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ го порядка Пусть непрерывны на . Тогда для точки и решение задачи Коши (2.6.1),(2.6.2), причем оно определено на всем интервале . Рассмотрим левую часть ЛДУ (2.6.1) и (2.6.10) – дифференциальный оператор . Покажем, что является линейным оператором, т.е. и , где . , Таким образом, – линейный дифференциальный оператор. Операторная форма ЛДУ: ЛНДУ: ЛОДУ:
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 90; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.70.255 (0.022 с.) |