Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

 

Пусть  интегрируема на . Зафиксируем . Рассмотрим определенный интеграл по :

 – определенный интеграл с переменным верхним пределом (см. рис. 5).

Теорема (о производной интеграла с переменным верхним пределом).

Пусть  непрерывна на . Тогда

Рис. 5

  Док-во: , где

При , (т.к. – непрерывная функция) т.е.

Следствие: если  непрерывна на , то на  существует ее первообразная . Любая первообразная имеет вид .

Пример.

 – первообразная для (не выражается через элементарные функции, интеграл – неберущийся).

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть  непрерывна на ,  – ее первообразная. Тогда .

Док-во: пусть  – произвольная первообразная. Рассмотрим  – также первообразная. Тогда . Возьмем . Т.к. , то , т.е. . При :  или :

Пример.

.

 

 

Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат, интегрирование периодических функций.

 

Пусть  непрерывна на , функция имеет непрерывную производную на , причем . Тогда .

Док-во: пусть  –первообразная для  на , т.е. . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница: . Функция  – первообразная для , по формуле Ньютона-Лейбница:

Пример.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции  и  имеют непрерывные производные на [ .

Тогда , т.е.

Док-во: , т.е.

Пример.

Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат

                                                                                                       Рис. 6

Теорема. Пусть  интегрируема  на , тогда:

1. Если  – четная, то .

2. Если  – нечетная, то .

Док-во:  (по свойству аддитивности) (см. рис. 6).

 – для четной функции,

 – для нечетной функции.

Пример.

Интегрирование периодических функций.

Рис. 7

Пусть  – периодическая с периодом , (т.е. ), интегрируемая на   Тогда  и

 (см. рис. 7).

 

Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

 

Несобственные интегралы 1-го рода

Пусть  определена на  и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем  и рассмотрим определенный интеграл .

Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции  от  до  называется предел при  определенного интеграла от  до :

Если  конечный предел , то несобственный интеграл от  до  называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел  равен  или не существует) – расходящимся.

Геометрический смысл –  площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями  (см. рис. 8).

 

Рис. 9

Аналогично для функции , определенной на  по определению

  (см. рис. 9).

Свойство линейности.

Если ,  сходятся, то сходятся интегралы

 .

Аналогично для .