Кафедра строительства и экономики

Кафедра строительства и экономики

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Теория вероятностей и математическая статистика

Программа, методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения технических специальностей

 

 

Воркута

 

2014

УДК 517.523(075.83)

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: Программа, методические указания и контрольные задания /Воркутинский филиал Ухтинского государственного технического унверситета. Сост.: Булдакова Е.Г., Даль Н.Н., Черемушкина О.И., 2014.

 

Методические материалы предназначены для оказания помощи студенту при самостоятельном изучении IV части курса высшей математики в соответствии с учебным планом для технических специальностей. Предложены контрольные задания, самостоятельное выполнение которых необходимо для успешного изучения курса. Методические указания могут быть использованы студентами всех форм обучения.

 

Табл.18, Ил. 17.

 

 

           Научный редактор: проф. А.П. Господариков

          

 

Введение

           Теорией вероятностей называется раздел математики, изучающий закономерности массовых (т.е. повторяющихся многократно) случайных явлений. Теория вероятностей является основой методов математической статистики, которые используются при обработке результатов исследований.

Изложенный в методических указаниях материал соответствует учебной программе:

1. Случайные события. Основные понятия теории вероятностей.

2. Вероятность суммы событий.

3. Вероятность произведения событий.

4. Формула полной вероятности и формула Байеса.

5. Повторение независимых опытов и теоремы Лапласа.

6. Теорема Бернулли и закон Пуассона.

7. Случайные величины. Закон распределения и функция распределения.

8. Математическое ожидание случайной величины.

9. Дисперсия и среднее отклонение случайной величины.

10. Показательный закон распределения и закон Пуассона.

11. Равномерный и нормальный законы распределения.

12. Система двух случайных величин. Закон и функция распределения.

13. Условный закон распределения и условное математическое ожидание.

14. Начальные и центральные моменты случайной величины и системы случайных величин. Коэффициент корреляции.

15. Выборка и эмпирическое распределение. Графическое представление.

16. Точечные оценки параметров распределения по эмпирическим данным.

17. Интервальные оценки параметров распределения по эмпирическим данным.

18. Понятие о критерии согласия. Критерий Пирсона χ².

19. Статистическая и корреляционная связь. Уравнения прямых регрессий.

 

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

           Наблюдаемые нами события могут быть трех видов: достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если в результате данного опыта оно обязательно произойдет. Например, извлечение белого шара из урны, содержащей только белые шары.

Событие невозможное, если в результате данного испытания оно произойти не может, например, извлечение белого шара из урны, содержащей черные шары.

Событие называется случайным, если в результате данного опыта оно может либо произойти, либо не произойти. Например, попадание в цель при выстреле из орудия.

Два события А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.

Два события А и В называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает возможность появления другого.

Группа событий А₁, А₂, … А _n называется группой несовместных событий, если события, входящие в группу, попарно несовместны.

Группа событий называется группой совместных событий, если совместны хотя бы два события из этой группы.

События А₁, А₂, … А _n называют единственно возможными, если при испытании обязательно произойдет только одно из этих событий.

События А₁, А₂, … А _n образуют полную группу событий, если они являются единственно возможными и несовместными исходами некоторого испытания. Например, бросают монету. Событие А₁ – выпадение герба, А₂ – выпадение решки. События А₁ и А₂ образуют полную группу событий.

События А₁, А₂, … А _n называются равновозможными, если нет оснований полагать, что одно из этих событий является более возможным, чем другие.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность. Наиболее широкое распространение получили определения вероятности события: классическое, геометрическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных  и несовместных исходов:

,

(1.1)

где m – число благоприятствующих событию А исходов;

n – общее число возможных исходов.

Из определения вероятности события следуют её простейшие свойства:

 

1. Вероятность достоверного события равна единице: .

 

2. Вероятность невозможного события равна нулю: .

3. Вероятность случайного события выражается положительным числом,  которое меньше единицы. Так как для случайного события 0< m < n, то .

Пример 1.1. Монету подбросили 1 раз. Какова вероятность появления герба.

Решение:

Пример 1.2. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Вынули 1 шар. Какова вероятность, что он белый?

Решение:

Классическое определение вероятности дает возможность рассматривать лишь события, которые распадаются на конечное число равновероятных исходов. Это недостаток классического определения вероятности. Рассмотрим понятие вероятности события для случаев с бесконечным множеством исходов испытания.

Пусть на плоскости имеется область G и некоторые области g в ней. Их площади равны соответственно S_G и S_g. В область G бросается наугад точка. Вероятность того, что точка окажется в области g принимается равной . При этом предполагается, что точка может попасть в любую часть области G, а вероятна лишь её площадь и не зависит ни от расположения, ни от формы области. Вероятность, определенная по такой схеме, называется геометрической.

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события А в опытах. Относительная частота появления события А вычисляется по формуле:

,

(1.2)

где m ₁ - число появлений события А в серии из n ₁ опытов (испытаний).

Вероятностью события А называется число относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота  при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события А принимается относительная частота  при достаточно большом числе испытаний.

Формула полной вероятности

Теорема. Если события Н₁, Н₂,… Н_n образуют полную группу несовместных  событий и событие А может наступить лишь при условии появления одного из событий Н _i (i=1,2,…, n), то имеет место формула, которая называется формулой полной вероятности:

Р(А) =Р(Н1) Р(А/ Н1)+…+ Р(Н n) Р(А/ Н n)

(2.11)

 

Входящие в формулу события Н₁, Н₂,… Н_n  называют гипотезами.

Пример 2.9. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если одинаково возможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение: Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

В₁ - белых шаров нет,  В₂ - один белый шар,  В₃ - два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны,

 и сумма вероятностей гипотез равна единице, то условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, .

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было 2 белых шара, .

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

.

Формула Байеса

Теорема. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂,… Н_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса

, (i =1,2,… n), где Р(А) =Р(Н1) Р(А/ Н1)+…+ Р(Н n) Р(А/ Н n).

(2.12)

 

Пример 2.10. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. Имеется 20 вопросов, причем: отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент сможет ответить на доставшийся ему вопрос, и вероятность того, что этот студент плохо подготовлен и ему просто повезло с вопросом.

Решение: Введем следующие обозначения для заданных величин:

Н₁ – студент отличник

Н₂ – студент учится хорошо

Н₃ - студент учится удовлетворительно

Н₄ – студент  учится плохо

А – вопрос “хороший”

P (H ₁)= 0,3 (3 из 10)

P (Н₂) =0,4 (4 из 10)

P (Н₃) =0,2 (2 из 10)

P (Н₄) =0,1 (1 из 10)

P (A / H ₁) =20/20=1

P (А/Н₂) = 16/20=0,8

P (А/Н₃)= 10/20=0,5

P (А/Н₄)= 5/20=0,25

Воспользуемся формулой полной вероятности для вычисления P (А):

и формулой Байеса для вычисления P (Н₄/А):

.

Формула Пуассона

Формула Бернулли удобна для вычислений при сравнительно небольшом числе испытаний n. При больших значениях n и малом значении вероятности p (например, n >100 и λ= np <10) хорошее приближение для формулы Бернулли дает формула Пуассона.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз приближенно равна:

,

(3.2)

где l = np.

Пример 3.3. Завод отправил потребителю 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено три изделия.

Решении:. Число n =500 велико, вероятность р =0,002 мала, а произведение l = np =1. Следовательно, применима формула Пуассона .

Решение:

х	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

 

.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х, принимающая значения на отрезке [ a; b ], имеет равномерное распределение, если плотность распределения f (x) имеет вид:

(5.8)

Функция распределения

(5.9)

 

Графики функций f(x) и F(x) приведены на рисунках 5.2 и 5.3.

Числовые характеристики равномерного распределения:

(5.10)

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина Х, принимающая неотрицательные значения (Х ³0) имеет показательное распределение с параметром l, если плотность распределения имеет вид:

(5.11)

           Такое распределение имеет случайная величина, равная времени, прошедшему с начала отсчета до наступления события, которое в среднем происходит l раз за единицу времени.

                   Функция распределения вероятности .

Если событием является отказ в работе некоторой системы, l имеет смысл среднего числа отказов (сбоев, поломов) системы. Чем меньше l, тем надежнее система. Поэтому функция распределения носит название функции надежности.

Вид графиков функций f (x) и F (x) представлен на рисунках 5.4 и 5.5.

 

Числовые характеристики показательного распределения:

(5.12)   (5.13)

 

Статистические оценки

Задачи теории корреляции

Функциональной зависимостью называется такая связь между переменными величинами, при которой зависимая величина - функция - полностью определяется значениями влияющих независимых величин - аргументов. Вид зависимости между аргументами и функцией обычно задается в виде формулы.

Наиболее часто на практике используются: линейная функция y = ax + b, гиперболическая , показательная - , степенная (обычно парабола) - .

Корреляционная зависимость - это такая связь между величинами, когда определенным значениям влияющих величин - факторов соответствуют множество значений зависимой величины, распределенных по известному закону распределения.

Например, чем больше товарооборот x, тем больше должна быть сумма издержек обращения y (x), однако, если фактические данные о товарообороте и издержках, полученных от разных потребительских обществ, нанести в виде точек на координатную плоскость (x, y), то они могут иметь вид прямолинейного вытянутого облака -корреляционного поля (рис.10.1.)

Под корреляционной зависимостью y от x понимается зависимость условной средней  от x, т.е. . Это равенство называется уравнением регрессии y на х. Вместе с регрессией y на х всегда может быть построена и регрессия   x на y, с уравнением .

При определении корреляционной зависимости, решаются две задачи:

1. установить форму корреляционной зависимости, т.е. вид функции;

2. оценить тесноту (силу) корреляционной связи (она оценивается по величине рассеяния значений y вокруг условного среднего . Чем меньше рассеяние, тем сильнее корреляционная зависимость).

Контрольная работа №1

Задача 1. В ящике имеются a белых и b чёрных шаров. Найти вероятность того, что:

1. первый вынутый шар будет белым;

2. все вынутые из ящика k шаров будут черными;

3. среди вынутых из ящика k шаров будет n белых.

Значения a, b, k и n по вариантам представлены в таблице 13.1.

Таблица 13.1

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	9	8	7	6	10	9	8	7	6	5
b	5	6	7	8	5	6	7	8	9	8
k	4	5	5	4	3	4	5	6	6	5
n	2	3	4	3	2	2	3	4	5	2

 

Задача 2. Решить задачу согласно варианту (таблице 13.2.). На рисунках к задачам элементы, без которых работа системы невозможна, изображаются как звенья, соединенные «последовательно»; дублирующие друг друга элементы изображаются соединенными «параллельно». Надежность каждого элемента записывается в соответствующем прямоугольнике.

Таблица 13.2

№	Задача
1	При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти: 1) вероятность того, что двигатель начнет работать только при втором включении зажигания; 2) вероятность того, что для ввода двигателя в работу придется включить зажигание не более двух раз.
2	Сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из n знаков (символов). При передаче каждый знак искажается (независимо от других) с вероятностью р. Для надежности сообщение дублируется (повторяется k раз). Найти вероятность того, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено ни в одном знаке.

 

Продолжение таблицы 13.2

3	Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы цифра «6» появилась хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей 0.9.
4	Имеется радиолокационная система, состоящая из двух самостоятельных станций. Для выполнения задачи необходимо, чтобы хотя бы одна радиолокационная станция, входящая в систему работала безотказно. Требуется определить вероятность того, что система будет работать безотказно, если вероятность безотказной работы каждой радиолокационной станции в течение времени, необходимого для выполнения задания равна 0.9.
5	Вероятность безотказной работы блока, входящего в систему, в течение заданного времени составляет 0.8. Для повышения надежности устанавливают такой же резервный блок. Требуется найти, какой станет вероятность безотказной работы блока с учетом резервного.
6	Прибор состоит из n блоков (рис.13.1). Выход из строя каждого блока означает выход из строя прибора в целом. Блоки выходят из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна р. Найти надежность Р прибора в целом. Какова должна быть надежность р1 каждого блока для обеспечения заданной надежности Р1 прибора?
7	Для повышения надежности прибора он дублируется точно таким же прибором (рис.13.2); надежность (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна р. При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройства равна единице). Определить надежность Р системы двух дублирующих друг друга приборов.
8	Прибор состоит из трех узлов. В первом узле n1 элементов, во втором n2 и в третьем n3. Для работы прибора безусловно необходим узел I; два других узла II иIII дублируют друг друга (рис.13.3). Надежность каждого элемента одна и та же и равна р. Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти надежность прибора Р.
9	Для повышения надежности прибора он дублируется (n-1) другими такими же приборами (рис. 13.4); надежность каждого прибора р. Найти надежность Р системы. Сколько надо взять приборов, чтобы повысить надежность до заданной Р1?
10	Техническая система состоит из n блоков, надежность каждого р. Выход из строя хотя бы одного блока влечет за собой выход из строя всей системы. С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще n таких же блоков. Надежность переключающих устройств полная. Определить, какой способ дублирования дает большую надежность системы: а) дублирование каждого блока (рис. 13.5а); б) дублирование всей системы (рис.13.5б).

 

Задача 3. При установившемся технологическом процессе вероятность изготовления детали, удовлетворяющей требованиям стандарта, равна p. Найти вероятность того, что:

1. требованиям стандарта удовлетворяют ровно k деталей и не менее l деталей среди взятых наудачу n деталей.

2. среди взятых наудачу N =10 n деталей требованиям стандарта удовлетворяют ровно K =10 k и не менее L =10 l деталей.

Значения p, n, k и l по вариантам представлены в таблице 13.3.

Таблица 13.3

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
p	0.9	0.8	0.7	0.75	0.85	0.95	0.65	0.7	0.8	0.9
n	6	7	5	8	4	5	6	7	6	8
k	4	5	3	6	3	3	3	4	4	5
l	5	6	4	7	2	3	4	5	5	7

 

Задача 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F (x) (таблица 13.4). Требуется:

1. используя свойства функции распределения, найти коэффициент a;

2. найти плотность распределения вероятностей f (x);

3. построить графики функций распределения F (x) и плотности распределения вероятностей f (x);

4. найти числовые характеристики случайной величины Х: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение;

5. найти вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания по модулю не более, чем на среднее квадратическое отклонение.

Таблица 13.4

№	F (x)	N	F (x)
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задача 5. Нормально распределенная случайная величина X задана параметрами a   и σ (. a -математическое ожидание, σ -среднеквадратическое отклонение).

1. запишите плотность распределения вероятностей и постройте её график;

2. найдите

3. найдите

Значения a, σ,α, β и δ по вариантам представлены в таблице 13.5.

 

Таблица 13.5

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	7	6	5	4	3	2	1	-1	-2	-3
σ	2	3	4	5	2	3	4	5	2	3
α	4	4	2	0	-2	-1	0	0	-3	-3
β	8	9	8	5	4	4	5	5	0	4
δ	3	4	3	6	2	2	3	6	3	5

 

Контрольная работа №2

Задание 1. Результаты независимых измерений подчинены нормальному закону распределения. Найти доверительный интервал, покрывающий истинное значение величины с надёжностью γ=0,95.

           Значения независимых измерений представлены в таблице 14.1.

Таблица 14.1

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x1	0.50	1.80	4.40	45.00	7.40	34.00	24.00	41.10	41.30	15.00
x2	0.70	1.90	4.80	46.00	7.10	30.00	26.00	42.20	42.20	16.00
x3	0.75	2.50	5.00	47.00	7.90	32.00	25.00	43.40	43.60	17.00
x4	0.68	1.60	5.10	44.00	7.50	31.70	28.00	39.40	39.60	14.00
x5	0.62	1.70	5.30	42.00	7.30	35.30	30.00	39.60	39.80	12.00
x6	0.72	2.20	4.90	48.00	7.60	31.00	23.00	39.90	40.10	18.00
x7	0.70	2.30	5.20	49.00	7.80	34.40	29.00	42.80	43.00	19.00

 

Задание 2. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X  по данной корреляционной таблице (таблица 14.2). На одном графике изобразить полученную прямую и групповые средние . В каждой таблице указаны середины интервалов значений признаков X и Y и соответствующие частоты.

Таблица 14.2

№	Исходные данные
1	Y	X						ny
		4	9	14	19	24	29
	10	3	3	-	-	-	-	6
	20	5	7	8	-	-	-	20
	30	-	4	10	18	5	-	37
	40	-	-	4	12	7	-	23
	50	-	-	-	4	3	7	14
	nx	8	14	22	34	15	7	n=100
2	Y	X						ny
		10	15	20	25	30	35
	30	2	4	-	-	-	-	6
	40	3	6	8	-	-	-	17
	50	-	2	10	20	4	-	36
	60	-	-	5	10	8	1	24
	70	-	-	-	7	6	4	17
	nx	5	12	23	37	18	5	n=100
3	Y	X						ny
		15	20	25	30	35	40
	5	4	2	-	-	-	-	6
	10	5	6	7	-	-	-	18
	15	-	4	10	15	7	-	36
	20	-	-	6	10	5	2	23
	25	-	-	-	8	4	5	17
	nx	9	12	23	33	16	7	n=100
4	Y	X						ny
		5	10	15	20	25	30
	20	1	5	-	-	-	-	6
	30	4	7	3	-	-	-	14
	40	-	3	10	18	3	-	34
	50	-	-	6	10	10	3	29
	60	-	-	-	7	5	5	17
	nx	5	15	19	35	18	8	n=100
5	Y	X						ny
		10	15	20	25	30	35
	6	4	1	-	-	-	-	5
	12	2	6	8	-	-	-	16
	18	-	5	11	10	5	-	31
	24	-	-	3	15	9	1	28
	30	-	-	-	9	7	4	20
	nx	6	12	22	34	21	5	n=100
6	Y	X						ny
		5	10	15	20	25	30
	8	2	4	-	-	-	-	6
	12	1	3	7	2	-	-	13
	16	-	2	10	20	12	-	44
	20	-	-	7	7	8	2	24
	24	-	-	-	4	5	4	13
	nx	3	9	24	33	25	6	n=100
7	Y	X						ny
		2	7	12	17	22	27
	10	4	4	-	-	-	-	8
	20	1	6	7	8	-	-	22
	30	-	3	8	15	8	-	34
	40	-	-	3	7	10	3	23
	50	-	-	-	2	5	6	13
	nx	5	13	18	32	23	9	n=100
8	Y	X						ny
		11	16	21	26	31	36
	25	3	4	-	-	-	-	7
	35	1	8	3	2	-	-	14
	45	-	2	9	18	5	-	34
	55	-	-	5	13	10	2	30
	65	-	-	-	4	6	5	15
	nx	4	14	17	37	21	7	n=100
9	Y	X						ny
		4	9	14	19	24	29
	8	3	4	-	-	-	-	7
	18	1	6	5	-	-	-	12
	28	-	1	15	4	1	-	21
	38	-	-	11	12	8	2	33
	48	-	-	8	7	9	3	27
	nx	4	11	39	23	18	5	n=100
10	Y	X						ny
		5	10	15	20	25	30
	11	4	2	-	-	-	-	6
	21	2	6	3	-	-	-	11
	31	-	1	9	20	4	-	34
	41	-	-	8	10	12	1	31
	51	-	-	-	6	7	5	18
	nx	6	9	20	36	23	6	n=100

Задание 3. Предполагается, что случайная величина Х, эмпирическое распределение которой задано, обладает нормальным законом распределения. В таблице 14.3 представлены значения середин интервалов х _i и соответствующие им частоты m_i по вариантам.

           Вычислить для всех интервалов теоретические частоты; оценить с помощью критерия Пирсона хи-квадрат согласие эмпирического распределения с теоретическим распределением и построить гистограмму для эмпирического и теоретического распределений.

Таблица 14.3

№	xi						mi
	x1	x2	x3	x4	x5	x6	m1	m2	m3	m4	m5	m6
1	10	20	30	40	50	60	5	8	15	11	7	4
2	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	4	8	15	12	6	5
3	12	22	32	42	52	62	4	7	10	14	9	6
4	25	35	45	55	65	75	5	8	14	12	7	4
5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	6	8	14	10	7	5
6	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	5	7	11	13	9	5
7	5	4	5	6	7	8	4	8	12	14	7	5
8	15	16	17	18	19	20	4	8	15	11	7	5
9	2	3	4	5	6	7	5	9	11	14	6	5
10	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	6	7	13	10	9	5

 

СОДЕРЖАНИЕ