Плотность распределения вероятностей. Определение, вероятностный смысл, свойства.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Плотность распределения вероятностей. Определение, вероятностный смысл, свойства.



Кроме интегральной функции распределения для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятностей или плотности вероятности.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f( x), равная производной интегральной функции

(5.1)

Из соотношения (5.1) можно найти функцию распределения, интегрируя плотность вероятности в общем случае от -¥ до рассматриваемого значения х, т.е.

(5.2)

           Плотность вероятности дает возможность найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала (a , b).

           Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала (a , b), равна определенному интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b:

(5.3)

Смысл плотности распределения вероятности состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Свойства функции f ( x ):

1. f ( x ) ³ 0, т.к. плотность распределения является производной от её интегральной функции распределения, а функция распределения - неубывающая функция.

2. . В самом деле, по формуле (5.3) , а событие ‑¥<X<+¥ является достоверным событием, следовательно, его вероятность равна единице, т.е.

 Р(‑¥<X<+¥ )=1, а это значит, что и .

Пример 5.2. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси ОХ равенством .

Найти постоянный параметр С.

Решение: Плотность распределения f(x) должна удовлетворять условию .

Потребуем, чтобы это условие выполнялось

 

Вычислим несобственный интеграл:

 

 

Таким образом,

Окончательно получим .

 

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Для непрерывных случайных величин, так же как и для дискретных, используются понятия математического ожидания и дисперсии.

 Математическим ожиданием М(Х) непрерывной случайной величины Х называется значение несобственного интеграла, если он сходится:

, (5.4)

где f ( x ) – плотность вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется значение несобственного интеграла, если он сходится

. (5.5)

Для вычислений удобно пользоваться формулой

. (5.6)

Аналогично дискретной случайной величине

(5.7)

 является среднеквадратическим отклонением непрерывной  случайной величины Х.

Равномерное, показательное и нормальное распределения непрерывной случайной величины

Аналитические выражения для функций распределения вероятностей или плотности вероятности носят название законов распределения.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х, принимающая значения на отрезке [a ; b], имеет равномерное распределение, если плотность распределения f ( x ) имеет вид:

(5.8)

Функция распределения

(5.9)

 

Графики функций f(x) и F(x) приведены на рисунках 5.2 и 5.3.



Числовые характеристики равномерного распределения:

(5.10)

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина Х, принимающая неотрицательные значения (Х³0) имеет показательное распределение с параметром l, если плотность распределения имеет вид:

(5.11)

           Такое распределение имеет случайная величина, равная времени, прошедшему с начала отсчета до наступления события, которое в среднем происходит l раз за единицу времени.

                   Функция распределения вероятности .

Если событием является отказ в работе некоторой системы, l имеет смысл среднего числа отказов (сбоев, поломов) системы. Чем меньше l, тем надежнее система. Поэтому функция распределения носит название функции надежности.

Вид графиков функций f ( x ) и F ( x ) представлен на рисунках 5.4 и 5.5.

 

Числовые характеристики показательного распределения:


(5.12)   (5.13)

 



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.192.51.24 (0.007 с.)