Задача 22. Определение оптимального диаметра трубопровода.

Определить оптимальный диаметр стального трубопровода, который может пропустить расход жидкости плотностью 1000 кг/м³, вязкостью 0,00101 Па×с, равный 60 л/с. Длина трубопровода составляет 500 м, шероховатость стенок трубопровода 0,1 мм. Жидкость перемещается при помощи насоса с потребным напором 75 м. Точка забора находится под точкой потребления на высоте 5 метров. При решении задачи не учитывать влияние температуры на свойства жидкости.

 

Решение:

Выполним перевод внесистемных величин в систему СИ:

Q =60 л/с = 60×10^-3 м³/с;

Δ=0,1 мм = 0,1×10^-3 м.

Рассмотрим два сечения трубопровода. Первое сечение – начало трубопровода, второе – окончание трубопровода.

Оптимальный диаметр определяется из уравнения потребного напора, создаваемого насосом для перемещения жидкости

Н _потр.= Н _ст + К × Q^m,

где Н _ст – статический напор;

    К, m – коэффициенты, зависящие от режима движения жидкости.

Н _ст=(z ₂ – z ₁)+ P ₂/ρ× g,

где z ₁, z ₂ – координаты рассматриваемых сечение по оси ординат, относительно плоскости сравнения. Так как по условиям задачи указано, что точка забора находится под точкой потребления на высоте 5 метра, то (z ₂ – z ₁)=5 м

Р ₂ – давление жидкости во втором сечении. Так как по условиям задачи не указана никакая информация о давлении, то давление Р ₂ =0

Н _ст= 5+0=5 м.

Так как величина диаметра трубопровода является основным параметров трубопровода, и входит во все математические формулы, описывающие гидравлические характеристики трубопровода, то без величины диаметра трубопровода решить какую-либо задачу по гидравлике невозможно.

Поэтому данная задача решается методом приближения.

В первом приближении произвольным образом задаемся значением диаметра трубопровода D ₁=100 мм = 0,1 м.

Определим режим движения жидкости в трубопроводе. Для этого определим критерий Рейнольдса и сравним его с граничным значением критерия Рейнольдса.

Для определения критерия Рейнольдса Re₁ необходимо определить скорость движения жидкости в трубопроводе при диаметре D ₁= 0,1 м

м²

 м/с,

Так как Re ₁>2320, то режим движения жидкости в трубопроводе – турбулентный.

При турбулентном режиме движения жидкости коэффициент m =2, коэффициент К определяется по формуле

,

где λ_i – коэффициент Дарси, для i-го участка. Коэффициент Дарси определяется в зависимости от режима движения жидкости и области сопротивления.

Так как режим движения жидкости в трубопроводе турбулентный, то необходимо определить область сопротивления. Определяем «границу» области сопротивления гидравлически гладких труб

Так как Re ₁ > Re _г/гл1, то определяем «границу» переходной области сопротивления

Так как Re _кв1 > Re ₁ > Re _г/гл1, то область сопротивления в трубопроводе будет переходной областью сопротивления.

Для переходной области сопротивления коэффициент Дарси определяется по формуле

0,020

Определим коэффициент К ₁ для первого приближения

,

Определяем потребный напор, необходимый для перемещения жидкости по трубопроводу при диаметре трубопровода D ₁ = 100 мм.

302,8 м

Значение Н _потр1 = 302,8 м ≠ Н _потр= 75 м, следовательно, первое предположение, что диаметр трубопровода равен D ₁=100 мм неверно.

Во втором приближении произвольным образом задаемся значением диаметра трубопровода D ₁=150 мм = 0,15 м.

Определим критерий Рейнольдса и сравним его с граничным значением критерия Рейнольдса.

Для определения критерия Рейнольдса Re ₂ необходимо определить скорость движения жидкости в трубопроводе при диаметре D ₂= 0,15 м

м²

 м/с,

Так как Re ₂>2320, то режим движения жидкости в трубопроводе – турбулентный.

Определяем «границу» области сопротивления гидравлически гладких труб

Так как Re ₂ > Re _г/гл2, то определяем «границу» переходной области сопротивления

Так как Re _кв2 > Re ₂ > Re _г/гл2, то область сопротивления в трубопроводе будет переходной областью сопротивления.

Для переходной области сопротивления коэффициент Дарси определяется по формуле

Определим коэффициент К для второго приближения

,

Определяем потребный напор, необходимый для перемещения жидкости по трубопроводу при диаметре трубопровода D ₁ = 150 мм.

42,1 м.

Значение Н _потр.2 = 42,1 м ≠ Н _потр.= 75 м, следовательно, второе предположение, что диаметр трубопровода равен D ₂=150 мм неверно.

Сравнивая значения потребного напора в первом и втором приближениях, с исходным потребным напором, можно сделать вывод, что

Н _потр.2 < Н _потр. < Н _потр.1,

следовательно, искомый диаметр трубопровода должен находиться в интервале значений между D ₁ и D ₂, т.е. между 100 мм и 150 мм, причем значение искомого диаметра должно находиться ближе к диаметру D ₂

Принимаем в третьем приближении диаметр трубопровода D ₃=140мм=0,14 м.

Определим критерий Рейнольдса и сравним его с граничным значением критерия Рейнольдса.

Для определения критерия Рейнольдса Re ₃ необходимо определить скорость движения жидкости в трубопроводе при диаметре D ₃= 0,14 м

м²

 м/с,

Так как Re ₃>2320, то режим движения жидкости в трубопроводе – турбулентный. Определяем «границу» области сопротивления гидравлически гладких труб

Так как Re ₃ > Re _г/гл3, то определяем «границу» переходной области сопротивления

Так как Re _{кв 3} > Re ₃ > Re _г/гл3, то область сопротивления в трубопроводе будет переходной областью сопротивления.

Для переходной области сопротивления коэффициент Дарси определяется по формуле

0,019

Определим коэффициенты К для третьего приближения

,

Определяем потребный напор, необходимый для перемещения жидкости по трубопроводу при диаметре трубопровода D ₃ = 140 мм.

57,6 м

Значение Н _потр.3 = 57,6 м ≠ Н _потр.= 75 м, следовательно, второе предположение, что диаметр трубопровода равен D ₃=140 мм неверно.

Сравнивая значения потребного напора в первом и третьем приближениях, с исходным потребным напором, можно сделать вывод, что

Н _потр.3 < Н _потр. < Н _потр.1,

следовательно, искомый диаметр трубопровода должен находиться в интервале значений между D ₁ и D ₃, т.е. между 100 мм и 140 мм, причем значение искомого диаметра должно находиться ближе к диаметру D ₃.

Принимаем в четвертом приближении диаметр трубопровода
D ₄ = 130мм = 0,13 м.

Определим критерий Рейнольдса и сравним его с граничным значением критерия Рейнольдса

.

Для определения критерия Рейнольдса Re ₄ необходимо определить скорость движения жидкости в трубопроводе при диаметре D ₄= 0,13 м

м²,

 м/с,

.

Так как Re ₄>2320, то режим движения жидкости в трубопроводе – турбулентный. Определяем «границу» области сопротивления гидравлически гладких труб

Так как Re ₄ > Re _г/гл4, то определяем «границу» переходной области сопротивления

Так как Re _кв4 > Re > Re _г/гл4, то область сопротивления в трубопроводе будет переходной областью сопротивления.

Для переходной области сопротивления коэффициент Дарси определяется по формуле

Определим коэффициент К для четвертого приближения

,

Определяем потребный напор, необходимый для перемещения жидкости по трубопроводу при диаметре трубопровода D ₄ = 130 мм

81,2 м

Значение Н _потр.4 = 81,2 м ≠ Н _потр.= 75 м, следовательно, второе предположение, что диаметр трубопровода равен D ₄=130 мм неверно.

Сравнивая значения потребного напора в первом и третьем приближениях, с исходным потребным напором, можно сделать вывод, что

Н _потр.3 < Н _потр. < Н _потр.4,

следовательно, искомый диаметр трубопровода должен находиться в интервале значений между D ₃ и D ₄, т.е. между 130 мм и 140 мм, причем значение искомого диаметра должно находиться ближе к диаметру D ₄.

По полученным данным в соответствующих масштабах строим зависимость между диаметром трубопровода и потребным напором

Таблица1

№ п/п	Диаметр трубопровода, мм	Потребный напор, м
1	100	302,8
2	130	81,2
3	140	57,6
4	150	42,1

 

По полученной зависимости при потребном напоре Н _потр.= 75 м (см. исходные данные) оптимальный диаметр трубопровода составляет D ≈ 133 мм.

В соответствии с ГОСТ 8732-78 «Трубы стальные бесшовные горячедеформированные. Сортамент» выбираем трубу Ø146х6,5 мм. Таким образом, диаметр условного прохода трубопровода составит 133 мм.

Определяем фактический потребный напор, необходимый для перемещения 60 л/с жидкости по трубопроводу диаметром 133 мм.

Определим критерий Рейнольдса и сравним его граничным значением критерия Рейнольдса

.

Для определения критерия Рейнольдса Re₄ необходимо определить скорость движения жидкости в трубопроводе при диаметре D = 0,133 м

м²,

 м/с,

.

Так как Re >2320, то режим движения жидкости в трубопроводе –турбулентный. Определяем «границу» области сопротивления гидравлически гладких труб

Так как Re > Re _г/гл, то определяем «границу» переходной области сопротивления

Так как Re _кв > Re > Re _г/гл, то область сопротивления в трубопроводе будет переходной областью сопротивления.

Для переходной области сопротивления коэффициент Дарси определяется по формуле

0,019

Определим коэффициент К

,

Определяем потребный напор, необходимый для перемещения жидкости по трубопроводу при диаметре трубопровода D = 133 мм

72,97 м.

Так как Н _потр=72,97 ≈ Н _потр=75 мм, то диаметр трубопровода D = 133 мм является оптимальным.

Ответ: оптимальным внутренним диаметром трубопровода является диаметр Ø133 мм.