Дисконтирование по сложным ставкам

При изучении простых процентов мы обсуждали математическое дисконтирование и банковский учет. Первое состоит в нахождении величины Р по заданному значению S при процентной ставке, равной i. Второй – при данной учетной ставке d. Рассмотрим оба случая.

Математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i

Из формулы (2.1.) получим:

                        P = S (1+ i)^{- n} = S ⁿ.                                              (2.9)

Величина ⁿ называется дисконтным множителем по сложной ставке процентов.

Если проценты начисляются m раз а году, то

                  P= ^mn,                                      (2.10)

где                        ^mn= .                                          (2.11)

Современная стоимость может быть рассчитана на любой момент до выплаты суммы S. Дисконт D

 

D=S-P=S(1- ⁿ); D=S-P=S(1- ^mn).

Учет по сложной учетной ставке

В финансовой практике часто используют сложную учетную ставку. В этом случае процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге. В этом случае дисконтирование осуществляется по формуле

 

                                       P = S (1- d) ⁿ,                                          (2.12)

 

где d – сложная годовая учетная ставка.

ПРИМЕР 2.7

Вексель на сумму 5 тыс. руб., срок платежа по которому наступит через пять лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых. Какова величина дисконта?

РЕШЕНИЕ. Р=5000 (1-0,15)⁵=2218,53 руб.

           D = S - P = 5000-2218,53=2781,47 руб.

Дисконтирование по сложной учетной ставке выгоднее для должника, чем дисконтирование по простой учетной ставке. Это видно из сравнения соответствующих дисконтных множителей: _n =1- d_nn; _c=(1- d_c) ⁿ, где d_n и d_c – простая и сложная учетные ставки. На рис. 2.4 представлены графики поведения _n и _c в зависимости от n. Значение первого множителя равномерно уменьшается по мере роста n и достигает нуля при n =1/ d_n.

 

 

Второй множитель ( _с) экспоненциально уменьшается и стремится к нулю при  

Пусть дисконтирование производится не один, а m раз в году с номинальной учетной ставкой f, т.е. каждый раз по ставке f / m. Тогда

                                    P = S  .                                (2.13)

Эффективная учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год. Найдем ее из формулы (n =1):

1- d = ,

откуда                      d =1-  .                                   (2.14)

ПРИМЕР 2.8

Найти сумму, полученную при поквартальном дисконтировании по номинальной учетной ставке 15 %, с исходными данными предыдущего примера (2.7.).

РЕШЕНИЕ. Так как m =4, f =0,15, t =5,

P =5000(1- )^4.5=2328,0 руб.

Эффективная учетная ставка составит (из 2.20):

d =1-(1- )⁴=0,1418, или 14,18 %.

Следует отметить, что и наращение первоначальной суммы Р может быть достигнуто с помощью сложной учетной ставки d. Из формул (2.12) и(2.13):

                                  S = P (1- d)^{- n ,}                                                 (2.15)

                                     S = P (1- )^{- nm}.                                            (2.16)

Тогда множители наращения при использовании сложной учетной ставки d и номинальной годовой учетной ставки f будут равны (1- d)^{- n} и    (1-/ m)^{- mn}.