Учет инфляции и налогов при начислении процентов

Во всех рассмотренных выше случаях мы не учитывали влияние на параметры сделки инфляции и налогов. В условиях реального снижения покупательной способности денег рассмотрим механизмы этого влияния на результаты финансовых операций.

Инфляция

Инфляция характеризуется обесцениванием национальной валюты (т. е. снижением ее покупательной способности) и общим повышением цен в стране. Очевидно, что в различных случаях влияние инфляционного процесса сказывается на договаривающихся сторонах неодинаково: когда кредитор теряет часть дохода за счет обесценивания денежных средств, дебитор получает возможность выиграть на том, что может погасить долг деньгами меньшей покупательной способности. Инфляцию необходимо учитывать при расчете наращенной и текущей сумм денег, а также при определении доходности какой-либо финансовой операции.

Пусть S – наращенная сумма денег, измеренная по номиналу, S  – эта же сумма с учетом инфляции. Тогда будет обозначать разницу между этими суммами.

Отношение , выраженное в процентах, называется уровнем инфляции.

При расчетах используют относительную величину уровня инфляции – темп инфляции a, причем

.

     Тогда для определения S получим выражение:

                 .                 (2.38)

Величину , показывающую, во сколько раз S  больше S (т. е. во сколько раз выросли цены), называют индексом инфляции J_и , т. е.

                                .                                         (2.39)

(Индекс инфляции J_и называют еще индексом цен.)

Например, если уровень инфляции равен 50 %, то цены выросли в полтора раза.

В свою очередь,

                        ,  .                                  (2.40)

Напомним, что изменение покупательной способности денег за некоторый период измеряется с помощью индекса J_пс, который равен обратной величине индекса инфляции:

.

При этом

                               .                                      (2.41)

Следует отметить, что индексы J_и и J_пс относятся к одному и тому же временному интервалу. Пусть в настоящий момент получено 100 тыс. руб. и известно, что за два предшествующих года цены увеличились в два раза, т. е.
J_и = 2. В этом случае индекс покупательной способности денег равен ½. Следовательно, реальная покупательская способность 100 тыс. руб. составит в момент получения всего 100´(1/2) =50 тыс. руб. в деньгах двухлетней давности.

Динамика индекса инфляции за некоторый период отражает изменения в экономических процессах за это время. Понятно, что повышение индекса инфляции за определенный период, по сравнению с предыдущим таким же периодом, указывает на ускорение инфляции (и, соответственно, на снижение покупательской способности), снижение – на уменьшение ее темпов.

Среднегодовые темпы роста цен i_и и уровень инфляции Н находятся из величины J_и:

                        ;  Н= .                           (2.42)

Если Н – прогнозируемый уровень инфляции за период, то за n периодов имеем:

                               .                                 (2.43)

Наиболее часто встречающаяся (грубая) ошибка в финансово-экономических расчетах – это простое суммирование темпов инфляции для получения обобщающего показателя за весь период. Например, пусть цены каждый месяц растут на 4 %. Тогда за годовой уровень инфляции принимают величину 12´4=48 %. Такие расчеты часто используют банки и финансовые компании, привлекая клиентов вкладывать средства, к примеру, под 60 % годовых. Между тем, если уровень инфляции составляет 4 % в месяц, то это означает, что за месяц цены вырастут в 1+0,04=1,04 раза, а за год – в 1,04¹²=1,665 раза. Значит, годовой индекс инфляции составляет 1,665-1=0,665, т. е. годовой уровень инфляции составляет 66,5 %. После такого расчета процентная ставка в
60 % годовых, мягко говоря, теряет свою привлекательность.

В общем виде индекс цен за несколько неодинаковых периодов равен произведению индексов цен цепочки периодов:

                               .                                         (2.44)

Это означает, что цены в текущем периоде повышаются на Н_t процентов относительно уровня, сложившегося в предыдущем периоде.

ПРИМЕР 2.15

Постоянный темп инфляции имеет уровень: а) 3 % в месяц; б). имеет место последовательный прирост цен по месяцам: 5, 4 и 3 %. Найти годовой уровень инфляции и темп инфляции за 3 месяца.

РЕШЕНИЕ. а) по формуле (2.43) найдем индекс цен .

Тогда годовой уровень инфляции вычисляем по формуле (2.42):

, т.е. 46,85%, а не 12*0,03=0,36, т.е. 36 %.

           б) Индекс цен за три месяца, согласно формуле (2.44), равен:

1,05 ´ 1,04 ´ 1,03=1,1248. Тогда уровень инфляции за 3 месяца составит 1,1248-1=0,1248, т. е. 12,48 %.

Рассмотрим, до какой же степени могут обесцениться деньги при операции наращения. Последнее, как обычно, производится по простой и сложной ставке процентов. Если взять простую ставку, то, подставляя соответствующий множитель наращения в формулу (2.41), получим

 

              .                            (2.45)

Из (2.45) видно, что реальное увеличение суммы будет иногда, когда множитель наращения простых процентов будет больше, чем индекс инфляции.

Если наращение производится по сложной ставке процентов, то, подставив в (2.41) значение S и J_и, найдем:

 

                            .                             (2.46)

 

Согласно (2.45) и (2.46), множители наращения с учетом инфляции для простых и сложных процентов будут:

 

           ;  .               (2.47 а), (2.47 б)

 

Проанализируем, при каких соотношениях между i и можно надеяться на реальный рост доходов. Из формулы (2.46) видно, что если среднегодовой темп инфляции равен ставке i  процентов ( = i), то множитель наращения равен единице и роста реальной суммы не будет. Тогда S= P, и в этом случае говорят, что инфляция съедает наращение.

 

 

 

Если  > i, будет «эрозия» капитала (рис. 2.7), при  < i происходит рост реальной суммы. Ставка, большая, чем  , называется ставкой процента.

Для простых процентов минимально допустимую процентную ставку найдем, приравнивая единице множитель наращения (2.54 а)): 1+ it =(1+ )ⁿ=J_и. Отсюда

.

При данной процентной ставке наращение по простым процентам будет полностью компенсировать инфляцию.

ПРИМЕР 2.16

Пусть на сумму 150 тыс. руб. в течение трех месяцев начисляются простые проценты по ставке 50 % годовых. Найти наращенную сумму с учетом обесценивания и минимально допустимую величину ставки, если индекс цен за 3 месяца составляет 1,1250 (пример 2.15).

РЕШЕНИЕ. По формуле (2.52.)

 тыс. руб.

 или 80 % годовых.

Таким образом, только ставка, превышающая 80 % годовых, будет в данных условиях приносить реальный доход.

Естественно, для того чтобы компенсировать обесценивание денег, необходимо произвести индексирование процентной ставки, т. е. увеличить ее на некоторую величину. Последняя называется инфляционной премией, а сумма ставки и инфляционной премии называется в литературе «брутто-ставкой». Найти ее можно, приравняв соответствующие множители наращения. Так, если i – простая ставка, а τ – брутто ставка, то

 

1+ τ ´ n =(1+in)J_и=(1+ in)(1+ ) ⁿ.

 

Отсюда

                           τ = .                                           (2.48)

Если i – ставка сложных процентов, то из равенства

(1+ τ) ⁿ =(1+ i) ⁿ (1+ ) ⁿ

1+ τ =(1+ i)(1+ )

следует, что

                              τ= i+ + i.                                           (2.49)

Выражение (2.55) представляет собой известную формулу И. Фишера. По этой формуле инфляционная премия, которую нужно прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь, равна величине ( + i). На практике же часто используют более простую формулу, в которой пренебрегается произведением величин и i:

                                τ = + i.                                                 (2.50)

Следует понимать, что замена (2.49) на (2.50) оправдана лишь в случае незначительных величин   и i. При увеличении последних ошибка при отбрасывании последнего числа в (2.49) может быть весьма ощутимой. Так, при
i =10 % и Н= ´100=10 % вклад этого произведения в брутто-ставку составит
1 %. При годовой инфляции 50 % и той же ставке наращения брутто-ставка будет равна 0,5+0,5+0,25=1,25, т. е. 125 %.

Аналогично тому, как были получены формулы (2.48) и (2.49) находится выражение, связывающие учетные ставки. В случае простых учетных ставок соответствующее уравнение эквивалентности имеет вид:

,

откуда учетная ставка с учетом инфляции d _:

                                .                             (2.51)

Для случая сложных учетных ставок:

                                         .                                          (2.52)

Если начисление процентов происходит m раз в году, то

.

Отсюда

                                ,                                   (2.53)

а для сложных учетных ставок с m начислениями в году

                                  .                                           (2.54)

Решим теперь обратную задачу: найти реальную ставку процентов, учитывающую доходность операции, с учетом инфляции. Для этого нужно, используя вышеприведенные формулы, найти процентную ставку, если задана брутто-ставка τ.

Если начисляются простые проценты, то из формулы (2.54) можно получить выражение, позволяющее определить реальную доходность финансовой операции, если задан уровень инфляции:

                          .                                                  (2.55)

Из формулы

                            τ =                                                (2.56)

получим аналогичную формулу для случая сложных процентов:

                           .                                                  (2.57)

Подставив в (2.57) значение индекса инфляции , получим простую формулу

                             ,                                                (2.58)

отражающую несколько очевидных соображений:

- если  (доходность вложений и темп инфляции равны), то i =0, т. е. весь доход поглощается инфляцией;

- если <  (доходность вложений ниже уровня инфляции), то i <0, т. е. операция приносит убыток;

- если >  (доходность вложения выше уровня инфляции), то i >0, т. е. происходит реальный прирост капиталовложений.

Имеет место еще один метод компенсации инфляции, при котором индексируется не процентная ставка, а первоначальная сумма платежа P. Тогда

                                        .                                       (2.60)

Величина P в нужные моменты времени корректируется с помощью индекса инфляции J_и. Данный метод распространен в Великобритании.

Рассмотрим примеры учета инфляционных процессов.

 

ПРИМЕР 2.17

Ссуда в 50 тыс. руб. выдана на 2 года. Реальная доходность операции должна составить 20 % годовых по сложной ставке ссудных процентов. Ожидаемый уровень инфляции составляет 50 % в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ  По формуле (2.50) получаем:

Отсюда множитель наращения

.

,т. е. = 80 %.

Для наращенной суммы будем иметь

 тыс. руб.

ПРИМЕР  2.18

Первоначальный капитал в размере 20 тыс. руб. выдан на 3 года с процентами, начисленными в конце каждого квартала по номинальной ставке 30 % годовых. Определить номинальную ставку процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если годовой ожидаемый уровень инфляции составляет 40 %.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой (2.50):

J_n=(1+0,4)³=3,8416.

По формуле (2.59) имеем:

; j=67,84 %.

Отсюда

тыс. руб.

ПРИМЕР 2.19

При выдаче кредита должна быть обеспечена реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой 20 % годовых. Кредит выдается на полгода, за которые предполагаемый индекс инфляции составит 1,4. Рассчитать значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции.

РЕШЕНИЕ.  Произведем вычисления по формуле

, т.е. d =71,4 %.

ПРИМЕР 2.20. Определить реальную доходность финансовой операции, если при уровне инфляции 4 % в месяц выдается кредит на 2 года по номинальной ставке сложных процентов 80 % годовых. Проценты начисляются ежеквартально.

РЕШЕНИЕ. Принимая заданную номинальную процентную ставку за ставку, учитывающую инфляцию, получим:

                                      .                                   (2.61)

J_и=(1+0,04)²⁴,

             j= или 26,7 %.

ПРИМЕР 2.21

Определить, какой реальной убыточностью обладает финансовая операция, если при уровне инфляции 40 % в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 25 % годовых при ежемесячном начислении.

РЕШЕНИЕ. Используем для расчета формулу (2.66) при J_и=1,4:

или -6 %.

Таким образом, данная операция будет приносить 6 %-й убыток.

Учет налогов

Очень часто прибыль от финансовой операции определяется полностью начисленными за какой-то срок процентами. Эта прибыль (или полученные проценты) облагается налогом, сумма которого уменьшает наращенное значение денег.

Рассмотрим, как влияет налог на полученные проценты, на результаты финансовой операции.

Пусть g –ставка налога на проценты, S, как и прежде – наращенное значение без учета выплаты налога, S_g – та же сумма с учетом налога. Пусть начисляются простые проценты. Тогда

 

S_g=S-I×g=S-(S-P)g=S-Sg+Pg=S(1-g)+Pg=P(1+ni)(1-g)-Pg=P(1+n(1-g)i). (2.62)

 

Из формулы (2.62) видно, что учет налога эквивалентен сокращению процентной ставки i на (1+ g).

Рассмотрим случай начисления сложных процентов.

Если налог начисляется на срок n, то его сумма равна величине

,

а наращенная сумма окажется

            .                     (2.63)

Налог может начисляться в конце каждого периода, например года. Тогда проценты постоянно увеличиваются. В литературе по финансовому анализу приводится формула для начисления налога за t -й год:

            .                   (2.64)

ПРИМЕР 2.22

Пусть ставка налога на проценты равна 10 %. Ссуда, размером 100 тыс. руб., выдана на срок 3 года под 30 % годовых. Определить наращенную сумму с учетом налогов при начислении: а) простых процентов, б) сложных процентов.

РЕШЕНИЕ

а) Наращенная сумма на весь срок, 3 года, без уплаты налогов будет равна

S =100(1+0,33)=190,0 тыс. руб.