Эквивалентное значение для потока платежей

В п. 3.1 мы ввели понятие финансовой эквивалентности обязательств, согласно которому можно одну выплату заменить другой либо множеством платежей. Это делается на основе решения уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к определенному моменту времени, приравнивается к сумме новых платежей, приведенных к той же дате. Множители наращения, входящие в данное уравнение, могут рассчитываться либо на основе простых ставок (для краткосрочных операций), либо сложных (для долгосрочных обязательств). Рассмотрим данный метод для случая, когда совокупность (поток) платежей R ₀, R _1, R ₂, R_m со сроками n ₁, n ₂ … n_m заменяются одним платежом S_K  и сроком n ₀ (так называемая консолидация платежей).

Введем определение на основе сложной ставки i:

Эквивалентным множеству распределенных во времени выплат значением по ставке сложных процентов i в фиксированный момент времени называется сумма приведенных к этому моменту эквивалентных по ставке i значений выплат указанного множества.

Проиллюстрируем это определение следующей временной диаграммой (рис. 3.3.).

 

 

Запишем эквивалентное по ставке i значение S_k для приведенного на рисунке множества в момент времени K. Из рисунка видно, что

 

.  (3.30)

(Произведено n выплат с интервалом в один год.)

ПРИМЕР 3.10

Для множества, состоящего из трех последовательных выплат в размере 25 000 руб. каждая, ожидаемых через год, три года, пять лет, найти эквивалентное по ставке 10 % годовых значение: а) сегодня; б) через 2 года;
в) через 5 лет?

РЕШЕНИЕ. Построим временную диаграмму выплат (рис. 3.4.).

 

а) Для момента времени 0 (сегодняшнее значение):

руб.

б)           руб.

в)          руб.

Для сложных процентных ставок справедливо следующее свойство эквивалентности:

Если два значения эквивалентны по фиксированной ставке сложных процентов одному и тому же множеству выплат для различных моментов времени, то они эквивалентны друг другу по той же ставке.

Сумму S консолидированного платежа можно определить, записав уравнение эквивалентности и для случая простых процентов:

                              ,                            (3.31)

где R_i – размеры платежей со сроками , R_k – размеры платежей со сроками , t_i = n ₀ - n_i; t_k = n_k - n ₀.

Объединить платежи можно, применяя и учетные ставки процентов. Тогда по аналогии с (3.36.) и с теми же обозначениями:

          .                                   (3.32)

ПРИМЕР 3.11

     Два платежа – 100 тыс. руб. и 50 тыс. руб. – со сроками уплаты 150 и 180 дней решено заменить одним сроком – 200 дней. Найти консолидированную сумму при а) простой процентной ставке 20 %; б) учетной ставке простых процентов 20 %.

РЕШЕНИЕ

а) тыс. руб.

б) тыс. руб.

Определение срока объединенного платежа

Другая постановка задачи, возникающая при консолидации платежей: задана сумма объединенного платежа S, найти срок платежа n ₀. Удобно в этом случае уравнение эквивалентности записывать для начального момента времени.

Для сложной процентной ставки i такое уравнение будет иметь вид:

.

Тогда, логарифмируя это равенство, получим для n₀:

                                 .                                               (3.33)

При применении простой ставки уравнение эквивалентности, записанное для текущих значений, будет:

.

Отсюда

                             .                                       (3.34)

Из (3.34) следует, что размер нового платежа S должен быть больше суммы P текущих значений заменяемых платежей R_i.

ПРИМЕР 3.13.

Кредиты в размере 10, 20 и 15 тыс. руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней, соответственно. На какой срок можно отложить платеж 650 тыс. руб., заменяющий данные платежи, при условии, что i =10 %?

РЕШЕНИЕ. Настоящее значение заменяемых платежей P составит:

 тыс. руб.

По формуле (3.34) находим

года или 512 дней.

Если поток платежей заменяется одной выплатой, равной сумме этих платежей, т. е. , то срок, для которого указанная выплата эквивалентна множеству платежей, называется средним сроком. Для его вычисления можно воспользоваться приближенной формулой:

     ,                                (3.35)

которая тем точнее, чем меньше процентная ставка i.

В (3.35) R_k – выплаты в периоды n_k.

ПРИМЕР 3.14.

Для множества, состоящего из трех выплат (100 тыс. руб. сегодня, 200 тыс. – через два года, 300 тыс. – через пять лет), найти средний срок, т.е. срок, при котором это множество выплат эквивалентно 600 тыс. руб. по ставке 12 % сложных годовых?

РЕШЕНИЕ. Построим временную диаграмму (рис. 3.5).

Запишем уравнение эквивалентности для сегодняшнего момента:

600(1,12)^{- n} = 100+200(1,12)^-2+300(1,12)^-5.

Отсюда

n =0,334/0,113 3 года.

ПРИМЕР 3.15.

Для множества, состоящего из пяти выплат (115 тыс. руб. сегодня, 90 тыс. – через два месяца, 650 тыс. – через четыре месяца, 300 тыс. – через шесть месяцев), оценить средний срок. Проценты начисляются по ставке 2 % в месяц.

РЕШЕНИЕ. По формуле (3.35) получим:

года.