Непрерывное начисление процентов

До сих пор мы рассматривали только случаи дискретного начисления процентов. В банковской практике особенно при электронных способах регистрации финансовых операций, проценты могут начисляться за одни сутки или несколько часов. Например, коммерческий банк Москвы переводит банку Владивостока определенную сумму денег на 12 часов – с 20 часов сегодняшнего дня до 8 утра следующего дня по московскому времени. За счет разницы во времени банк г. Владивостока может использовать эту сумму в краткосрочных операциях, а затем вернуть долг с некоторым процентом к началу работы московского банка. Очевидно, что здесь присутствует задача начисления процентов за очень малые промежутки времени. По существу, речь идет о непрерывном начислении процентов. Аналогичные задачи могут возникнуть при анализе инвестиций, поскольку многие производственные и экономические процессы непрерывны по своей природе. Построим соответствующую им модель непрерывного начисления процентов.

Рассмотрим такой пример. Найдем наращенное за 1 год значение на единицу основного капитала по ставке 100 % годовых с начислением m раз в году. Вычислим годовой множитель наращения. Результаты приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Начисление	Число периодов	Наращенная сумма S
Ежегодное	1
Ежемесячное	12
Ежедневное	360
Ежечасное	8 640
Ежесекундное	518 400

 

Видно, что наращенная сумма увеличивается с ростом m, но как бы часто ни начислялись проценты, они не превысят числа 2,72= .

При непрерывном начислении процентов применяется особый вид процентной ставки, которая называется силой роста и обозначается . Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени и равна

                                                                   (2.17)

Величина называется также интенсивностью наращения за год при непрерывном начислении процентов.

Наращенная сумма S:

.         (2.18)

Эффективная годовая ставка i и номинальная годовая ставка связаны соотношением (n =1):

                .                                  (2.19)

 

Из формулы (2.19) следует, что

                      .                                        (2.20)

Формулами (2.19) и (2.20) пользуются при решении задач на непрерывное начисление процентов. Можно найти и приблизительную связь между основными параметрами. Из теории рядов известно, что при малых X с точностью до членов третьего порядка малости

Подставим первую из этих формул в (2.19), а вторую – в (2.20) и пренебрежем членами третьего порядка малости:

, .                              1)

Этими приближенными формулами можно пользоваться для ориентировочных расчетов, если под руками нет калькулятора и таблиц.

ПРИМЕР 2.9

Какой выигрыш получит инвестор за 2 года от вложения 200 тыс. руб. по ставке 8 % годовых, если вместо поквартального начисления процентов на эту сумму будут начислены непрерывные проценты?

РЕШЕНИЕ. Обозначим через S₁ наращенное значение при поквартальном начислении процентов, а через S₂ – при непрерывном. Тогда

тыс. руб.

тыс. руб.

значит, выигрыш равен

руб.

Элементарно находится и дисконтный множитель на основе силы роста. Из (2.18) получим

.

Отсюда дисконтный множитель при непрерывном начислении процентов равен .