Й способ. С помощью 2-й производной.

Выясним знак 2-й производной в этих точках. . 

 максимум.

 минимум.

Ответ.  возрастание,  убывание,  возрастание.

 максимум,  минимум.

 

Задача 249. Найти экстремумы функции  и разность между ординатами максимума и минимума.

Решение. Производная: . Стационарные точки (где производная = 0)  и .

Чтобы определить, где максимум, а где минимум, выясним знак 2-й производной в этих же точках. .

 , точка  максимум.

 точка  минимум.

, .

Ответ.  максимум,  минимум. Разность ординат 108.

 

Задача 250. Найти экстремумы для .

Решение.  =  = .

Точки, в которых производная обращается в 0, это 0,1 и 2.

Вычислим знак 2-й производной в каждой из этих точек.

.

 точка минимума.

 точка максимума.

 точка минимума.

Ответ.  и  минимумы,  максимум.

 

Задача 251. Найти экстремумы функции .

Решение. Первая производная:  = .

Она обращается в 0 при  и . Корень 0 кратности 2.

Рассмотрим знак производной на интервалах. Множитель , знак может менять только . Достаточно рассмотреть знак производной при каком-либо целом значении на каждом из интервалов ,  и . К примеру, в точках  и  производная отрицательна, в точке  положительна. Итак, экстремум всего 1, это точка , там убывание сменяется возрастанием. В точке 0 не происходит смена знака производной, поэтому здесь экстремума нет.

Ответ. Единственный экстремум , минимум.

Задача 252. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции . 

Решение.  =

 =

 =  .

От знаменателя знак не зависит, знаменатель тут всегда строго больше 0. Поэтому всё зависит только от знака числителя.

Выделим множитель, который может менять свой знак: . Корни .

На интервалах  и : , рост.

На интервале :  убывание.

В точке  рост сменяется убыванием, это максимум.

В точке  убывание сменяется ростом, это минимум.

Кстати, в этом примере с помощью интервалов узнать экстремумы проще, чем с помощью 2-й производной, ведь пришлось бы считать поизводную от дроби .

Для построения графика можем найти высоту в точках максимума и минимума: , .

Вот как выглядит график:

Ответ.  и  рост,  убывание.

 максимум,  минимум.

Задача 253. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. Сначала найдём корни выражения под знаком модуля, чтобы понять, какая часть параболы отражается вверх.

, , , корни  и 3.

Тогда знак меняется на интервале , то есть функцию можно записать в виде: . 

График: 

Производная: . 

Производная разрывна при  и обращается в 0 при .

Выбирая целочисленную точку на каждом интервале, найдём знак производной на этом интервале.

       убывание на .

       рост на .

        убывание на .

        рост на .

Таким образом,  точки минимума,  максимум.

Ответ.  и  убывание,  и  рост,

 минимумы,  максимум.