Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задача 238. Вывод уравнения касательной.
Рассмотрим треугольник, его катеты равны и , так как тангенс угла наклона касательной это . Направляющий вектор для прямой направлен в точности по гипотенузе. При этом, мы можем пропорционально увеличить этот треугольник, тогда катеты будут такие: 1 и .Соответственно, направляющим вектором можем считать такой вектор: . Возьмём теперь точку где-нибудь на касательной. Она принадлежит касательной в точности тогда, когда вектор коллинеарен направляющему вектору этой прямой, т.е. . Запишем пропорцию координат так, как это всегда делали в теме «аналитическая геометрия». Получается каноническое уравнения прямой: . А теперь просто умножим на . Получается . Замечание. Уравнение касательной можно запомнить в виде причём, так запомнить легче.
Задача 239-А. Найти касательную к графику в точке . Решение. , , . Уравнение , то есть . Ответ. . Задача 239-Б. Найти дифференциал функции в точке . Решение. , , . Дифференциал: . Приближённые вычисления (1,1)^2 = 1,21 с пом dx 1,2
Задача 240. Найти касательную к графику в точке . Решение. , , .
. Ответ. Уравнение касательной . Задача 241. Найти касательную к графику в точке с абсциссой 2 и расстояние от этой прямой до начала координат. Решение. , , . Подставим эту информацию в уравнение . Получается . Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости: для этого сначала преобразуем к неявному виду: . Тогда видно, что . . = = . Ответ. Касательная , расстояние . Задача 242. На графике функции взята точка . Касательная к графику в точке наклонена к оси под углом, тангенс которого равен 4. Найти точку и уравнение касательной в этой точке. Решение. Производная в некоторой точке равна 4. Если , то , тогда . Общий вид уравнения касательной: . Тогда в данном случае: . Ответ. Точка , касательная . Задача 243. Найти точки на графике , такие, что касательные, проведённые в них, проходят через начало координат. Решение. Построим уравнение касательной при произвольной абсциссе. Пусть абсцисса . Тогда , . Уравнение касательной . Преобразуем его. . Чтобы не было константы, должно быть , т.е. или . Высота графика при обоих этих значениях одинакова, и равна 8. Тогда точки: и . Ответ. и .
Задача дом. Аналогично прошлой задаче, для точки (1,1). – дом. задание. Ответ. и . Задача дом. Найти уравнение касательной к кривой в точке . Ответ. . Задача дом. Найти уравнение касательной к кривой в точке . Ответ. . Задача дом. Найти уравнение касательной для в точке . Ответ. .
Практика 23. Задача 244. Найти касательные к графику в точках с абсциссами 1 и 2, и точку пересечения этих касательных. Решение. Во-первых, . Ищем касательную в 1-й точке. , . Тогда , что приводит к . Ищем касательную во 2-й точке. , . Тогда , что приводит к . Решаем систему уравнений, ищем пересечение этих прямых: Вычтем из 2-го 1-е. Тогда . Ответ. , , точка .
Задача 245. Найти предел . Решение. Метод разложения на множители, при степени 3 и выше, более трудоёмкий Сначала поделить каждый многочлен на , останутся многочлены 2-й степени, корни которых можно найти через дискриминант. Будет множитель вида . По методу Лопиталя: применять можно, условия теоремы выполнены, так как конечное число корней и они изолированы, то есть существует окрестность, в которой нет других корней знаменателя. = . Снова получается неопределённость , поэтому 2-й шаг, здесь придётся дифференцировать 2 раза, из-за наличия корня кратности 2 у исходных многочленов. = = = = . Ответ. . Задача 246. Найти предел . Решение. Методом Лопиталя = = . Но опять получилась неопределённость .
Продифференцируем ещё раз = = = = = 0,32. Ответ. .
Монотонность и экстремумы. Опр. 1 (точки наибольшего, наименьшего значения в D). Пусть функция f - функция одной переменной, т.е. отображает некоторое множество в . Точка называется точкой наибольшего (соответственно, наименьшего) значения в D, если . (соответственно, ). Опр. 2. (максимум и минимум) Пусть функция . Точка называется точкой максимума (минимума), если существует окрестность точки , такая, что . (для минимума ). Для максимума и минимума есть общее название - «экстремум».
Локальных максимумов может быть несколько, или даже бесконечное количество. Например, график , здесь через каждые есть новый максимум:
Понятие «максимум» отличается от понятия «наибольшее значение» тем, что для максимума требуется, чтобы функция была наибольшей в некоторой окрестности, а для наибольшего значения - во всей области.
Теорема Ферма (необходимый признак экстремума). Если функция дифференцируема в точке , и - точка экстремума, то . Прим. 1) , минимум в точке 0, но там не существует производная, то есть нельзя сказать, что . 2) для , , но при этом нет экстремума.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 123; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.22.183 (0.03 с.) |