Формула взаимосвязи производной по направлению и градиента

.

Доказательство. Обозначим координаты вектора . Точка M произвольная, её координаты , а точка . Так как  то их координаты пропорциональны, то есть

, что также записывается в параметрическом виде:

Это функция .

Рассмотрим производную композиции функций , а именно . Одно число (время t) сначала отображается в тройку чисел (координаты точки в момент времени) а затем функция f отображает эти 3 числа снова в одно число.

Производная внешней функции (которая действует последняя) это вектор-строка градиент функции f.

Производная внутренней функции (которая действует первая) это вектор-столбец.

Но ведь , аналогично  и . Тогда

Но ведь это и есть скалярное произведение градиента и вектора .

 

Отсюда виден геометрический смысл градиента:  это вектор, при движении в направлении которого рост функции наиболее быстрый. Если движение в перпендикулярном направлении, то рост функции будет нулевым. Если под большим увеличением рассмотреть какой-то небольшой кусочек поверхности, то он выглядит почти как наклонная плоскость, а для наклонной плоскости при движении в ту сторону, куда она наклонена, наибольшая скорость роста высоты, в перпендикулярном направлении - высота не изменяется, а при движении в противоположном - уменьшается.

Замечание. Если направление  - по координатной оси, то производная по направлению как раз и совпадает с какой-либо из частных производных. Если вектор вдоль оси Ox, то , скалярное произведение этого вектора и градиента  это

= .

Алгоритм вычисления производной по направлению можно условно разделить на 4 шага: 

1) Найти градиент в произвольной точке,

2) Найти градиент в конкретной точке,

3) Нормировать вектор, задающий направление,

4) Скалярно умножить градиент в точке на этот нормированный вектор.

Замечание. Шаги 3 и 4 перестановочны, то есть можно не нормировать вектор, а разделить на его длину получившееся скалярное произведение .

 

Задача 266. Дана функция . Найти: 

а) координаты вектора   в точке ,

б)  в точке  в направлении вектора .   

Решение. Найдём все 3 частных производных.

 = .

 = .

 = .

1) Градиент в произвольной точке: . 

2) Градиент в точке : . 

3) Нормируем вектор . Его длина .

Нормированный вектор .

4) Скалярно умножим его на градиент в точке, т.е. .

 =  =  = . 

Ответ.  = , = 4.

Задача 267. Дана функция . Найти: 

а) координаты вектора   в точке ;

б)  в точке  в направлении вектора .   

Решение. Ищем частные производные.

 = ,  = .

Итак, градиент . При  получаем вектор . Нормируем вектор . Его длина . Новый вектор

. Скалярно умножаем его на : 

.     

Ответ. ,  = 0.

Задача 268. Найти градиент функции  в точке (1,1) и производную по направлению (1,3).

Решение. , .

Градиент в произвольной точке:

Градиент в конкретной точке:

Нормируем вектор (1,3). .

Скалярно умножим  и . .

Ответ. , = .

Задача 269. Дана функция . Найти: 

а) координаты вектора  в точке  

б)  в точке  в направлении вектора .  

Решение. Частные производные: 

 =  = . Аналогично

= , = .

Присвоим конкретные значения  и получим градиент в точке.

Учитывая, что ,получится: 

.

Нормируем вектор . Его длина .

Итак, надо рассматривать такой вектор: .

Теперь скалярно умножим его на градиент.

 =  = .

Ответ. , = .

Задача 270. Найти градиент функции   в точке  и производную по направлению .

Решение.

1) Вычисляем частные производные: . 

2) .

3) Скалярно умножаем  на , получим 4.

4) Разделим на , получим .

Ответ. , .

Задача 271. Найти градиент функции  в точке (1,2,3) и производную по направлению a = (1,0,1). 

Решение.

1. .

2.

3. Нормируем вектор a = (1,0,1). Его модуль . Тогда нормированный вектор: .

4. Скалярно умножим  на .

Получим  =  = .

Ответ. .

* Задача домашняя. Найти градиент функции  в точке (2,2) и производную по направлению a = (3,4).

Ответ. Градиент ,  = 81,6.