Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Формула взаимосвязи производной по направлению и градиента ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
. Доказательство. Обозначим координаты вектора . Точка M произвольная, её координаты , а точка . Так как то их координаты пропорциональны, то есть , что также записывается в параметрическом виде: Это функция . Рассмотрим производную композиции функций , а именно . Одно число (время t) сначала отображается в тройку чисел (координаты точки в момент времени) а затем функция f отображает эти 3 числа снова в одно число. Производная внешней функции (которая действует последняя) это вектор-строка градиент функции f. Производная внутренней функции (которая действует первая) это вектор-столбец. Но ведь , аналогично и . Тогда Но ведь это и есть скалярное произведение градиента и вектора .
Отсюда виден геометрический смысл градиента: это вектор, при движении в направлении которого рост функции наиболее быстрый. Если движение в перпендикулярном направлении, то рост функции будет нулевым. Если под большим увеличением рассмотреть какой-то небольшой кусочек поверхности, то он выглядит почти как наклонная плоскость, а для наклонной плоскости при движении в ту сторону, куда она наклонена, наибольшая скорость роста высоты, в перпендикулярном направлении - высота не изменяется, а при движении в противоположном - уменьшается. Замечание. Если направление - по координатной оси, то производная по направлению как раз и совпадает с какой-либо из частных производных. Если вектор вдоль оси Ox, то , скалярное произведение этого вектора и градиента это = . Алгоритм вычисления производной по направлению можно условно разделить на 4 шага: 1) Найти градиент в произвольной точке, 2) Найти градиент в конкретной точке, 3) Нормировать вектор, задающий направление, 4) Скалярно умножить градиент в точке на этот нормированный вектор. Замечание. Шаги 3 и 4 перестановочны, то есть можно не нормировать вектор, а разделить на его длину получившееся скалярное произведение .
Задача 266. Дана функция . Найти: а) координаты вектора в точке , б) в точке в направлении вектора . Решение. Найдём все 3 частных производных. = . = . = . 1) Градиент в произвольной точке: . 2) Градиент в точке : . 3) Нормируем вектор . Его длина . Нормированный вектор . 4) Скалярно умножим его на градиент в точке, т.е. .
= = = . Ответ. = , = 4. Задача 267. Дана функция . Найти: а) координаты вектора в точке ; б) в точке в направлении вектора . Решение. Ищем частные производные. = , = . Итак, градиент . При получаем вектор . Нормируем вектор . Его длина . Новый вектор . Скалярно умножаем его на : . Ответ. , = 0. Задача 268. Найти градиент функции в точке (1,1) и производную по направлению (1,3). Решение. , . Градиент в произвольной точке: Градиент в конкретной точке: Нормируем вектор (1,3). . Скалярно умножим и . . Ответ. , = . Задача 269. Дана функция . Найти: а) координаты вектора в точке б) в точке в направлении вектора . Решение. Частные производные: = = . Аналогично = , = . Присвоим конкретные значения и получим градиент в точке. Учитывая, что ,получится: . Нормируем вектор . Его длина . Итак, надо рассматривать такой вектор: . Теперь скалярно умножим его на градиент. = = . Ответ. , = . Задача 270. Найти градиент функции в точке и производную по направлению . Решение. 1) Вычисляем частные производные: . 2) . 3) Скалярно умножаем на , получим 4. 4) Разделим на , получим . Ответ. , . Задача 271. Найти градиент функции в точке (1,2,3) и производную по направлению a = (1,0,1). Решение. 1. . 2. 3. Нормируем вектор a = (1,0,1). Его модуль . Тогда нормированный вектор: . 4. Скалярно умножим на . Получим = = . Ответ. . * Задача домашняя. Найти градиент функции в точке (2,2) и производную по направлению a = (3,4). Ответ. Градиент , = 81,6.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 155; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.223.115.21 (0.024 с.) |