Непрерывность и точки разрыва.

Определение.  называется правосторонним пределом функции  в точке , если: , так, что при  выполняется: .

Обозначается .

Аналогично,  называется левосторонним пределом функции  в точке , если: , так, что при  выполняется: .

Обозначается .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке определено значение , и оно совпадает как с правосторонним так и с левосторонним пределами:

.

 

Если это не выполняется, точка называется точкой разрыва.

 

Типы точек разрыва.

Название	Устранимый	Разрыв 1 рода	Разрыв 2 рода
Определение		, .	Один или оба 1-ст lim равны  или не сущ.
Примеры

Примеры  точка разрыва  

точки разрыва 2 и 3.

. Предел слева равен 0, справа . График:

 

Задача 212. Найти точку разрыва и охарактеризовать её тип: .

Решение.  Здесь при любом   верно , а при любом  верно . В точке 0 односторонние пределы различны.

Ответ. Разрыв 1 рода

Задача 213. Охарактеризовать тип точки , если .

Решение. Односторонние пределы для этой функции таковы:

 =  = , т.к. если  и при этом  то  .

 =  = , т.к. если  и при этом  то  .

Ответ. Разрыв 1 рода. 

 

Задача 214. Исследовать тип разрыва  для .

Решение. И при , и при  здесь , а тогда .   Тогда для обоих односторонних пределов получается одинаково: . Тогда разрыв устранимый.

К тому же функция чётная, и так ясно, что с двух сторон симметричные ветви графика. Так что достаточно было вычислить только с одной стороны.    Ответ.  устранимый разрыв.

Примечание. График этой функции: 

Задача 215. Найти точки разрыва и определить их тип .

Решение. Вычислить значение функции обычным путём здесь нельзя лишь в точках  где знаменатель обращается в 0. Эти две точки подозрительные на существование разрыва, мы и будем исследовать.

Во-первых, можно представить так:  .

Надо найти оба односторонних предела в каждой из точек.

Рассмотрим .

Для предела справа,  и модуль раскрывается без лишнего знака:

 =  =  = .

Для предела слева, , и при раскрытии модуля знак минус:

=  =  = .

Получились разные константы. Значит, разрыв 1-го рода.

 

Рассмотрим .

Здесь  и  раскрываются одинаково, и равны 2 и . А отличие в том, какого знака бесконечно-малая  в знаменателе.

 =  =  = .

 =  =  = .

Хотя бы с одной стороны предел  или не существует, значит разрыв 2-го рода.

Ответ.  разыв 2 рода,  разрыв 1 рода.

Чертёж к этой задаче. Синим цветом показан график этой функции, жёлтым - вертикальная асимптота, где разрыв 2-го рода.

 

Задача 216. Исследовать тип точки разрыва  для .

Решение. Ищем односторонние пределы вокруг 0, но при этом каждый раз домножаем и делим на , так чтобы избавиться от синуса в выражении.

=  =  =   = 1.

=  =  =   = .

Здесь знак модуля раскрывается по-разному в зависимости от того, справа или слева от 0 мы находимся. Это либо  либо . Получились различные числа. Разрыв 1-го рода.

Ответ.  разрыв 1 рода. 

Примечание. Вот график этой функции: 

Задача 217. Выяснить тип точки  для .

Решение. Левосторонний предел здесь должен вычисляться с помощью первой ветви функции, а правосторонний с помощью второй.  = 0.  = 0. Кроме того, .

Значение функции существует и равно как левостороннему пределу, так и правостороннему. 0 это точка непрерывности.

Ответ.  точка непрерывности.

График этой функции: 

Задача 218.  Найти точки разрыва и определить их тип для функции: .

Решение. Сначала ищем точки, подозрительные на разрыв, то есть где возможен разрыв. Во-первых, это точка стыковки двух ветвей графика, то есть . Там надо предел слева искать с помощью одной функции, а справа - с помощью другой. Кроме того,  и . Точка  не должна рассматриваться, т.к. правее 1 уже действует другая ветвь функции.

Рассмотрим :

, . Кроме того, значение в точке 1 тоже существует и равно .

Тогда  точка непрерывности.   

Рассмотрим :

. .  разрыв 2-го рода.

Рассмотрим .

, .

разрыв 1-го рода.    

Ответ.  разрыв 2 рода,  точка непрерывности,

разрыв 1 рода.  

На графике синим цветом показана левая ветвь функции, зелёным - правая, жёлтым - асимптота (она там, где разрыв 2 рода). График этой функции:

 

Асимптоты.

Если  то .

Горизонтальные: Если  , , то асимптота горизонтальная, эта ситуация имеет место, когда .

Пример.  две односторонние горизонтальные асимптоты:  и .

 

Вертикальные:   Если  , , то асимптота вертикальная (это соответствует разрыву 2 рода, ).

 

         

 

Наклонные асимптоты. 

Задача 219. Вывод формул  и .

Так как точка на графике и на асимптоте сближаются то: 

.

Отсюда следует, что , то есть 

.

Рассмотрим прямую , параллельную асимптоте .

Если разность ординат для точки на графике и соответствующей точки на прямой  стремится к 0, то разность ординат для точки на графике и точки на прямой  стремится к . Отрезок, соответствующий этому расстоянию, отмечен красным на чертеже.

Если две величины,  и , неограниченно возрастают, и при этом разность между ними стремится к 0, то их отношение стремится к 1, то есть . Но ведь также очевидно, что  =  = 1.

Тогда рассмотрим , этот предел равен 1. Однако если сократить в нём  то , а тогда .

 

 

Итак, мы получили формулы для нахождения . На практике сначала надо найти , а уже затем .

Пример 220. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Во-первых, сразу видно точку разрыва 2-го рода . Есть вертикальная асимптота .

Найдём наклонную асимптоту.

 (мы просто добавили лишний  в знаменателе, тем самым поделили на ).

=  =  = 1. Итак, .

Обратите внимание: здесь предел одинаково вычисляется при  и при , но бывают примеры, в которых по-разному, то есть на правой и левой полуплоскости могут быть разные асимптоты.

Найдём  =  =  = = =  = 2.

Ответ. Вертикальная x = 2, наклонная y = x + 2.

График выглядит так: 

 

 

Задача 221. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Во-первых, знаменатель не обращается в 0, поэтому точек разрыва 2-го рода нет, и нет вертикальных асимптот. Горизонтальных асимптот также нет, т.к. , предел не константа С.

Ищем наклонные асимптоты.

 =  = 1.

 =  =  =

. Асимптота . Чертёж:

Ответ. Асимптота .

 

Задача 222. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Во-первых, при  знаменталь обращается в 0, здесь разрыв 2 рода. То есть, вертикальная прямая  это вертикальная асимптота. Теперь ищем наклонные асимптоты.

 =  = 2. Причём этот результат не зависит от того, предел при  или , ведь обе старшие степени чётные. Нашли , т.е. есть наклонная асимптота типа . теперь найдём .

 =  =  =

 =  = . Итак,  и опять же, это независимо от  или . Значит, прямая  это двусторонняя асимптота.

Ответ. Вертикальная   и наклонная . График:  

 

Задача 223. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Область определения: . Здесь нет знаменателя, который мог бы обращаться в 0, поэтому вертикальных асимптот нет. Функция не ограниченная при , поэтому и горизонтальных асимптот нет, так что ищем только наклонные. Функция чётная, поэтому можем искать только при  на правой полуплоскости, а на левой график симметричен, так что если  будет асимптотой на правой полуплоскости, то

 на левой. А вот двусторонняя асимптота здесь никак не могла бы быть, ведь график симметричен относительно вертикальной оси, т.к. функция чётная.

=  =  = 1.

 =  =

здесь умножили на сопряжённое, как в таких пределах делали раньше.

 =  = .

Итак, , , на правой полуплоскости асимптота . Тогда из-за симметрии графика чётной функции на левой полуплоскости наклонная асимптота .

Ответ. Две односторонние асимптоты  и .

График (асимптоты показаны зелёным цветом).

Задача 224. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция не является чётной, поэтому здесь придётся при  и  искать пределы каждый отдельно.

 =  =  = .

 =  =  =

= = = 0.

Итак, , , на правой полуплоскости асимптота .

На левой полуплоскости:  

 =  =

 = .

 =  =

=  =   но так как   отрицательно то

. Итак, на левой полуплоскости , . Здесь не наклонная, а горизонтальная асимптота, .

Ответ. На правой полуплоскости наклонная асимптота ,

на левой горизонтальная асимптота .

 

Задача дом-1.  Найти асимптоты графика функции .

Ответ. Вертикальные асимптоты .

Задача дом-2. Найти асимптоты графика функции .

Ответ. Вертикальная: . Наклонная: .

Практика 22.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Дифференциал, уравнение касательной. Метод Лопиталя.

 

 =

Законы дифф. суммы и разности, произведения, частного.

. .   .

Закон дифференцирования композиции, обратной функции.

.   

Задача 225. Вывести формулу  .

Решение. По определению,   для этой функции надо записать так:  

преобразуем:  =  =  = .    Итак, .

 

Задача 226. Доказать, что .                                            Решение.  =  =   Так как следующие бесконечно малые эквивалентны:   то получим, заменяя на эквивалентную:   = .

Задача 227. Доказать, что   .

Запишем производную по определению.

 

Но тут есть сдвиг на и по u, и по v. Добавим и вычтем такое слагаемое, в котором сдвиг по одной функции есть, а по второй нет:

 теперь слагаемых стало 4, но зато их можно сгруппировать по два, и даже разбить на две дроби, так, что дельта прибавляется только на одном из мест.

Теперь можно вынести тот множитель, который одинаков в каждой разности:

Видно, то, что осталось в дробях, это и есть производные для u или v соответственно, т.е. в итоге:

. Итак, .

 

Задача 227-Б. Вывести формулу .

Решение. Объединим первые 2 слагаемых в один условный множитель, а третье пусть будет вторым множителем. После этого применим известную формулу, доказанную для 2 множителей.

 = , что и приводит к

выражению .

 

Задача 228. С помощью определения доказать, что .

Решение.  =  =

 =

воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени  :

=

=  =

=  = .

Ответ. .

Задача 229. Вычислить производную от композиций:

А) . Б)

Решение. А)  =  = .

Б)  =  = .

Ответы.  ; .

      

Задача 230. Найти производную от .

Решение. Здесь композиция трёх функций. Сначала действует степенная и переводит  в , затем вычисляется косинус, а от этого выражения зависит логарифм.

   =  =  = , что можно записать в виде . 

Ответ. .

Задача 231. Найти производную функции .

Решение. Способ 1. Можно рассматривать как композицию, тогда:

 =  =  =  = .

Способ 2. Можно рассматривать сразу как степенную функцию с дробной степенью, тогда решение такое:      = . 

Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же.

Ответ. .

Задача 232. Найти 1 и 2 производную от .  

Решение.  =  =

 = , что можно записать в виде . 

Вторая производная:  =  = .

Ответ. .

 

Задача 233. Найти производную от . 

Решение. Здесь нельзя применять формулу степенной функции, ведь в показателе тоже есть переменная. Но нельзя и формулу показательной функции, т.к. в основании тоже есть переменная. Единственным выходом здесь является логарифмирование, чтобы  осталось только в степени. Основание может быть представлено в виде . Тогда  =  = .

 =  =  =

 а теперь можем заменить обратно  на .

После приведения подобных, получим .

Ответ. .

 

Задача 234. Найти 1-ю и 2-ю производную для . Найти .

Решение.  =  = 

 =   =

=  =

 =  =  =  =

. Итак, .

Следующая, 2-я производная: 

 =  =  =

 = . 

Вычислим «тестовое» значение при конкретном .

 =  =  =  = 2.

Ответ. , , =2.

Задача домашняя. Найти 1-ю и 2-ю производную для . 

Ответ.

- - - Перерыв - - -

 

Задача 235. Найти 1-ю и 2-ю производную  и .

Решение.  = .

 =  =

 =  =

 = . . 

Ответ. , , .

Задача 236. Дана функция .

Найти , .

Решение.  =  =

 =  =  =

= = .

Максимально возможно привели подобные, чтобы затем было легче считать 2-ю производную.

 =  =  =

=  = .

Вычислим .  =  =  = 48.

Ответ. . .

 

Задача 237. Нарисовать график , если функция  задана графически:

Решение. Здесь мы можем рассуждать следующим образом. Запишем функцию на каждом из участков:

Тогда можно найти производную на каждом участке отдельно:

Тогда график производной выглядит так:

 

Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение можно представить в виде:

где  - бесконечно малая более высокого порядка, чем 1-й.

Главная линейная часть приращения функции, а именно , называется дифференциалом функции  в точке .

Обозначается также через . 

(Вспомнить: главная часть бесконечно-малой).

Примечание. Бывают не дифференцируемые функции, например  не дифф. в нуле. Нет общей касательной для двух частей графика, правой и левой. Какую бы прямую мы ни провели через (0,0), она не будет касательной к графику функции. Если наклон +45⁰ то есть  то разность между ней и левой половиной графика не будет бесконечно-малой: эта прямая является касательной к одной части графика, то она перпендикулярна другой ветви этого же графика.

Уравнение касательной. .  

В этом уравнении,  =  это фактически и есть дифференциал.