Блок 1. Опыты с равновозможными элементарными исходами

Важно! В пяти первых задачах для удобства можно выписать все элементарные события эксперимента.

Д1.1. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение. Случайный эксперимент — бросание жребия. Элементарное событие в этом эксперименте — участник, который выиграл жребий. Перечислим их:

 

(Вася), (Петя), (Коля) и (Лёша).

 

Общее число элементарных событий N равно 4. Жребий подразумевает, что эле- ментарные события равновозможны.

Событию A = {жребий выиграл Петя} благоприятствует только одно элементарное

событие (Петя). Поэтому N (A)= 1.

Тогда P(A)= N (A) = 1 = 0, 25.

N    4

Ответ: 0, 25.

Д1.2. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4?

Решение. Здесь случайный эксперимент — бросание кубика. Элементарное собы- тие — число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные

Решения задач диагностической работы 1

события:

Значит, N = 6.

1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Событию A = {выпало больше чем 4} благоприятствуют два элементарных собы-

тия: 5 и 6. Поэтому N (A)= 2.

Элементарные события равновозможны, поскольку подразумевается, что кубик

честный. Поэтому

P(A) = N (A) = 2 = 1.

N     6  3

Ответ: 1.

3

Д1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите

вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение. Орла обозначим буквой О. Решку — буквой Р. В описанном эксперимен- те могут быть следующие элементарные исходы:

 

 

 

Значит, N = 4.

ОО, ОР, РО и РР.

Событию A = {выпал ровно один орел} благоприятствуют элементарные события

ОР и РО. Поэтому N (A)= 2.

Тогда P(A)= N (A) = 2 = 0, 5.

N    4

Ответ: 0, 5.

Д1.4. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероят- ность того, что в сумме выпадет 8 очков.

Решение. Элементарный исход в этом опыте — упорядоченная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе — на втором. Множество элементарных

исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого брос- ка, столбцы — результату второго броска. Всего элементарных событий N = 36.

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

Решения задач диагностической работы 1

Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 8 (см. рисунок). Таких клеток пять. Значит, событию A = {сумма равна 8} благоприятствуют пять элементарных исходов. Следовательно, N (A) = 5. Поэтому

P(A)= N (A) = 5.

N    36

Ответ: 5.

36

Д1.5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность

того, что орел выпал ровно два раза?

Решение. Орла обозначим буквой О. Решку — буквой Р. В описанном экспери- менте элементарные исходы — тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем их все в таблицу:

 

Элементарный исход	Число орлов
ООО	3
ООР	2
ОРО	2
ОРР	1
РОО	2
РОР	1
РРО	1
РРР	0

Всего исходов получилось 8. Значит, N = 8.

Событию A = {орел выпал ровно два раза} благоприятствуют элементарные собы-

тия ООР, ОРО и РОО (они выделены в таблице). Поэтому N (A)= 3.

Тогда P(A)= N (A) = 3 = 0, 375.

N    8

Ответ: 0, 375.

3

Примечание. Эту задачу можно решить по формуле вероятности двух успехов в серии из трех испытаний Бернулли: C ² p ² q = 3 · 0, 5² · 0, 5 = 0, 375, где p = 0, 5 — веро- ятность орла (успеха) при одном броске, а q = 1 − p — вероятность решки (неудачи).

Важно! В следующих четырех задачах нет нужды выписывать все элементарные исходы. Достаточно подсчитать их количество.

Д1.6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в ко- тором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение. Элементарный исход — спортсмен, который выступает последним. По- следним может оказаться любой. Всего спортсменов N = 4 + 7 + 9 + 5 = 25.

Решения задач диагностической работы 1

Событию A = {последний из Швеции} благоприятствуют только девять исходов (столько, сколько участвует шведских спортсменов). Поэтому N (A)= 9.

Тогда P(A)= N (A) = 9

= 0, 36.

N    25

Ответ: 0, 36.

Д1.7. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны.

Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение. Элементарный исход — случайно выбранный аккумулятор. Поэтому

N = 1000.

Событию A = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 − 6 = 994 исхода.

Поэтому N (A)= 994.

Тогда P(A)= N (A) = 994 = 0, 994.

N

Ответ: 0, 994.

1000

Примечание. Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности про-

N (¯ A ¯)

тивоположного события   A ¯¯= {аккумулятор неисправен}. Имеем P(A ¯¯) =

Значит, P(A)= 1 − P(A ¯¯) = 1 − 0, 006 = 0, 994.

N = 0, 006.

Д1.8. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из

США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение. Элементарное событие — спортсменка, выступающая первой. Поэтому

N = 20.

Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию

A = {первой выступает спортсменка из Китая},

нужно подсчитать число спорсменок из Китая: N (A)= 20 − (8 + 7)= 5. Все элементар- ные события равновозможны по условию задачи, поэтому

P(A) = N (A) = 5

= 0, 25.

 

Ответ: 0, 25.

N     20

Примечание. Задачу можно решить с помощью формулы сложения вероятностей несовместных событий. Возьмем события

R = {первая из России}, A = {первая из США}  и C = {первая из Китая}.

Эти события несовместны, их объединение — достоверное событие. Поэтому

P(R)+ P(A)+ P(C) = 1, следовательно, P(C) = 1 − P(A) − P(R) = 1 − 7 − 8

20 20

= 0, 25.

Д1.9. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно раз- делить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат

Решения задач диагностической работы 1

карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение. Элементарный исход — карточка, выбранная капитаном российской ко- манды; N = 16. Событию

A = {команда России во второй группе}

благоприятствуют четыре карточки с номером «2», то есть N (A)= 4.

Тогда P(A)= N (A) = 4

= 0, 25.

N    16

Ответ: 0, 25.

Примечание. Задачу можно решить короче, если иначе определить элементарные события. Пусть элементарным событием будет не карточка, а номер на карточке. Элементарные события равновозможны, поскольку карточек с разными номерами по- ровну. Тогда N = 4, а N (A)= 1.

Здесь важно, что в новом эксперименте элементарные события остались  равно-

возможными. Нужно быть осторожным при переходе к более простому эксперименту. Например, если при двукратном бросании монеты в качестве элементарного исхода взять число выпавших орлов, то такие события 0, 1 или 2 не будут равновозможными!