Фактор-кільця і гомоморфізми.

Встановимо зв’язок між поняттям фактор-кільця і поняттям гомоморфізму кільця.

Нехай  гомоморфізм кільця К в кільці К ^′. В §3 показано, що ядро Kerf цього гомоморфізму є ідеалом кільця К. Тому можна говорити про фактор-кільце К / Kerf кільця К за ядром гомоморфізму . Як бачимо, кожен гомоморфізм визначає деяке фактор-кільце.

Виявляється, що і навпаки: якщо дано фактор-кільце К⁄І, поставивши у відповідність кожному елементу а К суміжний клас а+І. Цей епіморфізм х: К→К⁄І, ядром якого служить ідеал І. Цей епіморфізм називається канонічним гомоморфізмом. Гомоморфність так заданого відображення показується так:

а, b K: x (a)= a + I, x (b)= b + I,

Тоді

x(a+b)=(a+b)+ I=(a+I)+(b+I)=x(a)+x(b),

x(ab)=ab+ I=(a+I)(b+I)=x(a)x(b).

Теорема 5. (про гомоморфізми) Для всякого епіморфізму існує однозначно означений гомоморфізм j кільця К∕ Ker j на кільце К′ такий, що епіморфізм  є результатом послідовного застосування канонічного гомоморфізму x: К→К∕Kerf, а потім

4. Конгруенції за модулем

Якщо K - область цілісності з І і  - головний ідеал, породжений елементом , то всякі елементи  , які конгруентні за ідеалом  , називають конгруентними за модулем  і записують, це так:

Суміжні класи кільця K - за ідеалом і називають в даному випадку суміжними класами за модулем . Будь-який елемент суміжного класу називають часто лишком цього класу. Тому суміжні класи за модулем часто називають класами лишків за модулем .

Теорема 7. Елементи  конгруентні між собою за моду­лем тоді і тільки тоді, коли

Доведення. Якщо , то  тобто  навпаки, якщо , то  ,тобто,  і,значить,  . Відзначимо деякі властивості конгруенцій за модулем . Ос­новні властивості конгруенцій сформульовані в теоремі І. Із цієї теореми випливає, зокрема, що почленне додавання і множення конгруенцій за одним і тим же модулем не приводить до порушення конгруентності. Конгруентність не порушується ще й при таких перетвореннях:

1. додавання до обох частин конгруенції одного і того ж елемента;

2. перенесення з протилежним знаком будь-якого доданка з одні­єї частини конгруенції в другу;

3. додавання до однієї частини конгруенції елемента, кратного модулю;

4. множення обох частин конгруенції на будь-який елемент;

5. ділення обох частин конгруенції на їх спільний дільник, що взаємно простий з модулем;

6. множення обох частин конгруенції і модуля на довільний еле­мент;

7. ділення обох частин конгруенції і модуля на їх довільний спільний дільник.

Доведення непорушності конгруентності при вказаних перетвореннях

тривіальне і проводиться цілком аналогічно, як і для цілих чисел

(див. наприклад, О.І.Бородін, Теорія чисел, §15).

Вкажемо ще одну просту і важливу властивість конгруенцій.

Якщо елементи  конгруентні за модулем , то вони конгруентні і за їх найменшим спільним
кратним

Справді, із конгруенцій  випливає  , тобто  є спільним кратним чисел  і, значить, елемент  ділиться , звідки випливає потрібна конгруенції

.

§6. Класи лишків кільця цілих чисел за модулем .

1.Конгруенції та класи лишків за модулем

В цьому параграфі застосуємо результати попереднього параграфу до кільця цілих чисел.

Насамперед зауважимо, що, як це показано в §2, кільце  цілих чисел є кільцем головних ідеалів - всякий ненульовий ідеал в  є сукупністю чисел, кратних деякому натуральному числу , його можна записувати у вигляд . Тому конгруенції в цьому кільці є конгруенціями за модулем  , Нагадаємо, що за означенням числа конгруентні за модулем , якщо їх різниця  ділиться націло на . За теоремою 3 §5 числа  конгруентні за  тоді і тільки тоді, коли існує таке, що . Для цілих чисел справедливий ще один критерій конгруентності.

Теорема 1. Цілі числа a і b конгруентні за модулем  тоді і тільки тоді, коли вони мають однакові остачі при діленні на  .

Доведення. За теоремою про ділення з остачею

Звідки . Оскільки перший доданок даної суми ділиться на  , то вся сума ділиться на  тоді і тільки тоді,коли на  ділиться другий доданок . Ос­таннє, внаслідок того, можливе тоді і тільки тоді, коли , тобто  .

З теореми 2 §5 випливає, що сукупність чисел, конгруентних між собою за , співпадає з деяким суміжним класом кільця  за ідеалом . Через це сукупність чисел, конгруентних між собою за  , називається класом чисел,конгруентних за , а будь-яке число із цього класу його представником або лишком. Тому клас чисел,конгруентних за модулем ще назива­ють класом лишків кільця цілих чисел за модулем .

Як відомо, сукупність суміжних класів кільця K за ідеалом  утворює розбиття цього кільця, яке само є кільцем відносно операцій додавання та множення класів - фактор-кільцем K/ , Тому сукупність класів лишків кільця цілих чисел за модулем  утворює фактор-кільце . З теореми І виходить, що фактор-кільце  є скінченим і містить  різних класів.

Справді, кожен клас лишків  є сукупність всіх цілих чисел, що при діленні на дають одну і ту ж остачу . Оскільки всіх остач є  - 0,1,2,...,  — кожна з них міститься в одному і тільки в одному класі лишків та, навпаки, кожен клас містить одну з цих остач, то всіх різних класів лишків є .

Класи лишків за модулем  позначають часто через , де — остача чисел даного класу при діленні на . Випишемо їх:

Якщо з кожного класу чисел за модулем взяти по одному і тільки, по одному лишку, то одержана система чисел називається повною системою лишків модулем  . Найчастіше за повну систему лишків за модулем вибирають найменші невід’ємні лишки 0,1,2,...,  або абсолютно найменші лишки, тобто лишки, які в своїх класах є найменшими за абсолютною величиною. За модулем 10, наприклад, повною системою найменших невід'ємних лишків є:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,  

а повною системою абсолютно найменших лишків є

0,1,2,3,4,5,-4,-3,-2,-1

Або

0,1,2,3,4,-5,-4,-3,-2,-1. Крім повних систем лишків, в теорії чисел важливу роль відіграють так звані зведені системи лишків. Щоб підійти до цього поняття, зауважимо, що числа одного і того ж класу
 в силу відомого співвідношення

Мають модулем один і той же найбільший спільний дільник. Зокрема, всі числа одного і того ж класу  є одночасно взаємно простими з  або взаємно не простими з , тобто можна говорити про класи чисел, взаємно простих а модулем . При цьому клас  є взаємно простим за модулем  тоді і тільки тоді, Коли . Це означає, що класів чисел, взаємно простих з модулем , є стільки, скільки є чисел, меиших від  і взаємно простих , тобто, . Явдо з кожного класу лишків, взаємно простих за модулем , взяти по одному і тільки по одному лишку, то одержана сукупність чисел називається зведеною системою лишків за модулем . Щоб зведену систему, треба з повної системи ликів за модулем вибрити числа, взаємно прості з .

2. Кільце класів лишків за модулем .

Вище вже відзначалося, що сукупність усіх класів лишків утворює кільце відносно операцій додавання і множення суміжних кла­сів – фактор-кільце . Дослідимо, чи не є це кільце полем.

Лема. Сукупність  класів лишків , взаємно про­стих з модулем , утворив у фактор-кільці  абелеву мультиплікативну групу порядку

Доведення. Відзначимо насамперед, що коли, , то  і , внаслідок чого . З цього виходить, що добуток довільних суміжних класів із  належить , фсоціативність і комутативніеть множення класів справедлива, бо  є комутативним кільцем. Внаслідок співвідношення

одиничний клас  фактор-кільця  належить  . Для завершення доведення залишається показати, що кожен елемент  обернений елемент, що теж належить .

Нехай  - довільний клас із . Тоді  і за теоремою 2 §4

останньої рівності зокрема виходить що , тобто клас

. Крім того

Легко бачити, що Тому , тобто клас  є оберненим до класу .

Таким чином, - мультиплікативпа абелева група. Оскільки за відзначеним в кінці п.1 класів лишків, взаємно простих з модулем , то порядок  дорівнює . Лема доведена.

Теорема 2. Якщо p - просте число, то кільце  класів лишків за модулем  є полем. Якщо  - складене число, то кільце не є навіть областю цілісності.

Доведення.

1) Якщо  - просте число, то кожне з чисел
1,2,..., -1 взаємно прості з р. Томувсі класи  лишківза модулем , крім нульового класу  належить абелевій мультиплікативній групі , про яку йде мова в лемі. Це і означає, що в мультиплікативному кільці  зодиницею всі елементи, крім нульового, мають обернені, тобто  є полем.

2) Нехай - складене число. Оскільки  має нетривіальні натуральні дільники, що, звичайно, менші за нього, то

Покажемо, що клас  є дільником нуля. Оскільки  , то  і, значить, клас  , тобто, не є нулівим класом кільця . Крім того, на підставі /І/.

Внаслідок того, що , значить,  , тобто, клас  , є ненульовкм. В той же час

Отже, в кільці  існують дільники нуля, тобто, . не є областю цілісності і, тим більше, не є полем.

На закінчення цього параграфу використаємо доведену вище лему до доведення важливої теореми теорії чисел - теореми Ейлера.

Теорема 3. (Ейлера)

Доведення. Оскільки то клас  належить сукупності класів лишків, взаємно простих з модулем . За лемою множина  є мультиплікативною абелевою групою порядку . Розглянемо в групі  циклічну підгрупу , породжену класом . На підставі теореми Лагранжа порядок б цієї підгрупи є дільником порядку .

Тому, що порядок циклічної підгрупи співпадає з порядком породжуючо­го її елемента,

,

внаслідок чого

інакше кажучи,

Остання рівність показує, що і І належать до одного і того ж суміжного класу за модулем і тому на підставі

теореми 2 §5

Якщо  - просте число, то і теорему Ейлера можна формулювати так:

ТеоремаФерма. Якщо  - будь-яке просте число і  - довільне ціле число, що не ділиться на  ,то

Часто теорему Ферма подають в такій формі:

Якщо  - просте число, то

Якщо  , то справедливість останньої конгруенції очевидна. Якщо  , то остання конгруенція одержується з попередньої домножуванням на , що конгруенції не порушує.

§7 Деякі арифметичні застосування теорії конгруенцій