Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Розділ іі. Кільця та ідеали.
Література: 1. Ван-дер-гарден, Современная алгебра. ч.1. М. Гостехнодіт, 1947 г. 2. Л.А. Калухнин. Введение в общую алгебру. Наука, 1973г. 3. А.Г. Дуров, Лекции по общей алгебре. Я., 1973г. 4. С.Ленг. Алгебра, М., Мир. 1968г. 5. О.І. Бородін, Теорія чисел, Л., Вища школа, 1970 р.
Як уже не раз відзначалось, основним об’єктом в сучасній алгебрі є алгебраїчні структури, тобто множини, в яких введено одну чи декілька алгебраїчних операцій, які задовольняють тим чи іншим умовам (аксіомам структури). В алгебрі на першому курсі вивчалися дві важливі алгебраїчні структури – групи і поля. Вивчення алгебри на другому курсі розпочалося із встановлення ряду властивостей цілих чисел. В множині Z цілих чисел введені дві алгебраїчні операції – додавання і множення. Відносно операції додавання множина Z утворює адитивну абелеву групу, але, оскільки в ній є ще одна алгебраїчна операція – множення, її структура не є структурою групи. Множина Z цілих чисел не є і полем, бо жодне ціле число, крім І і –І, не має в Z оберненого до себе. Таким чином, в математиці є множини з двома алгебраїчними операціями (внутрішніми законами композиції), які не є полями. Найважливіший клас серед них утворюють кільця. §1. Означення кільця, властивості та основні поняття. Приклади кілець. Означення. Непорожня множина К називається кільцем, якщо на ній означені дві алгебраїчні операції (внутрішні закони композиції) – додавання і множення, що задовольняють таким умовам: 1) асоціативність додавання: ( а, b, с К): (а+ b)+с=а+(b +с); 2) комутативність додавання: ( а, b К): а+ b = b +а; 3) в К існує нулевий елемент 0 такий, що ( а К): а +0= а; 4) для всякого елемента а К існує протилежний елемент – а такий, що а +(- а)=о; 5) асоціативність множення: ( а, b, с К): (а b) с = а (b с); 6) операція множення дистрибутивна по відношеню до додавання ( а, b, с К): а (b +с)= а b +ас, (b +с) а = b а+са. Якщо в кільці К операція множення є комутативна, тобто ( а, b К): а b = b а; то кільце К називається комутативним. Якщо в кільці існує елемент 1 такий, що( а К): а*1=1*а=а, то кільце К називається кільцем з одиницею. Якщо для кожного не нулевого елемента а є К існує обернений елемент, тобто, такий елемент а К, що а а = а а =1, то таке комутативне кільце К з І називається полем. Як бачимо, поле є кільцем. Наведемо приклади кілець, що не є полями.
Приклади. 1. Множина Z усіх цілих чисел утворює комутативне кільце з 1, якщо за внутрішні закони композиції в Z взяти звичайні операції додавання і множення цілих чисел.
3. Множина С усіх неперервних функцій на сегменті [ а, b ] утворює комутативне кільце з 1, якщо для довільних f (x), g (x) С, (f + g) і (fg) означити так: ( х є[ а, b ]): (f + g)(x)= f (x)+ g (x), (fg)(x)= f (x) g (x), Той факт, що (f + g)(x), (fg)(x) С, відомий з аналізу (сума і добуток неперервних функцій – функції неперервні). Виконання аксіом 1), 2), 3), 6) випливає із справедливості цих умов для додавання і множення дійсних чисел (при всякому х [ a,b] f (x) - дійсне число), наприклад, ( f (x), g (x) С): (f + g)(x)= f (x)+ g (x)= g (x)+ f (x)=(g + f)(x). Аналогічно перевіряється комутативність множення. Очевидно, роль нулевого елементу виконує функція f (x)=0 (х [ a,b]), протилежною до f (x) є функція – f (x), при всякому х [ a, b ] приймає значення, протилежні до відпoвідних значень f (x). Одиничним елементом служить функція f (x)=1 (х [ a, b ]). Зауважимо, що множина С не є полем, тому, що для всякої функції f (x) С, яка має в точці [ a, b ] корінь, обернена функція має в точці х розрив, і значить не належить С. Відзначимо, що деякі автори, наприклад, А.Г.Курош(3), в означення кільця не включають аксіому 5), тобто, не ставлять вимоги щоб множення було асоціативним. Тоді серед кілець є неасоціативні кільця (наприклад,кільця Лі і кільця Жордана, див.(3)).
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 124; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.134.107 (0.009 с.) |