Іі. Суміжні класи. Теорема лангранжа.

Відомо що всяке відношення еквівалентності на множині визначає розбиття цієї множини на класи еквівалентних між собою елементів. Відношення конгруентності зліва за модулем підгрупи Н групи G, як відношення еквівалентності. Ці класи еквівалентності називають в даному випадку лівими суміжними класами.

Означення 3. Лівим суміжним класом  групи G за підгрупою , пароджененим елементом а G, називається клас еквівалентності відношення конгруентності зліва за модулем Н, якому належить а, тобто сукупність усіх елементів b G, конгруентності зліва із a за модулем Н. Отже,.

Аналогічно запроваджуються поняття правого суміжного класу. Нам треба встановити вигляд лівих суміжних класів, дати їх чіткіше; опис, 3 цією метою введемо спочатку поняття добутку підмножин групи G і відзначимо його деякі властивості, що будуть використані дальше.

Означення 4. Добутком підмножин А та В групи називається підмножина АВ цієї групи, яка складається із усіх тих і тільки тих елементів , які можна записати у вигляді х= ab, де .Отже,/

У випадку, коли А ={ a }, тобто, множина Aскладаэться тільки з одного елемента a,добуток АВ записується так аВ. Відзначимо деякі властивості:

1)Множення підмножини групи G асоціативне:

(1)    

Справді, на підставі асоціативності групової операції

і навпаки,

 , звідси і випливає рівність (1).

2)Якщо і А=В, то

Дійсно, всякий елемент х  сА має вигляд х= са, а  А.

Оскільки А=В, то а  В. Тому х= саа  В тобто х  сВ.

Таким чином, сА  сВ. Аналогічно навпаки: .

3)Якщо Н — підгрупа групи G, то Н*Н=Н.

 Всякий елеметн х множини Н*Н має вигляд .

Оскільки Н — підгрупа, то , тобто, . Навпаки, для

, тобто

Наступна теорема дає зручний для багатьох випадків опис лівих суміжних класів.

Теорема 3. Підмножина K групи G є лівим суміжним класом групи G за підгрупою Н тоді і тільки тоді, коли , де а — деякий елемент групи G.

Доведення: Нехай К — лівий суміжний клас групи G за підгрупою Н. Треба довести, що .

Нехай а — довільний елемент класу К. Тоді за означенням класу К як класу еквівалентності зліва за модулем Н.

Покажемо, що . Оскількиця рівність є рівністю двох множників, то і доводити її будемо відповідним чином.

Якщо  ,то , тобто, елемент , звідки , звідки елемент . Це значить, що тобто, . Цим рівність доведена, тобто, доведено, що для всякого суміжного класу К існує елемент , такий що .

Покажемо тепер, що, навпаки, всяка підмножина , де a — довільний елемент групи G, є лівим суміжним класом групи G за підгрупою Н.

Нехай b — довільний елемент підмножини a Н. Тоді , звідки , тобто, .

Зворотне включення доводиться точно так само, як і вище. Отже, , тобто, — лівий суміжний клас групи G за підгрупою Н. Теорема доведена.

Як бачимо, всякий лівий суміжний клас групи G за підгрупою Н співпадає з множиною , де а — довільний елемент цього класу, і, навпаки, множина , де а — довільний елемент групи G, є лівим суміжним класом групи G за підгрупою Н. Тому скрізь дальше лівий суміжний клас грури G за підгрупою Н ми будемо записувати у вигляді aH, де а — елемент групи G.

Аналогічні міркування справедливі і по відношенні до правих суміжних класів і тому далі скрізь правий суміжний клас групи G за підгрупою Н, ми будемо записувати у вигляді Ha, де а — елемент групи G.

Відзначимо деякі властивості лівих суміжних класів (для правих суміжних класів властивості аналогічні.

Різні суміжні класи  і групи G взаємно неперерізні і об'єднання їх

Цей факт безпосередгьо випливає із того, що сукупність лівих суміжних класів групи G за підгрупою Н утворює розбиття групи G.

2.Серед лівих суміжних класів групи G за підгрупою Н є сама підгрупа Н, бо

3.Якщо ,то є підгрупою групи G.

Справді, якби клас aH був підгрупою, то одиничний елемент , тобто існував би такий елемент , що , звідки, , тобто  всупереч умові.

4. Якщо підгрупа H групи G скінченна і містить точно m елементів, то і кожен лівий суміжний клас aB теж містить точно m різних елементів.

Дійсно, якщо , то

Якби для деяких i, j було , то домноживши цю рівність на ми одержали б , всупереч умові ( - різні елементи підгрупи Н).

В теорії груп часто приходиться розглядати множини, елементами яких служать ліві чи праві суміжні класи.

Означення 4: Сукупність  усіх лівих суміжних класів групи G за підгрупою Н називається лівостороннім розкладом групи за підгрупою Н, а сукупність , всіх правих суміжних класів – правостороннім розкладом G за Н.

Таким чином,

Якщо група G абелева, то

Справді,

Тому у випадку абелевої групи не розрізняють конгруенції зліва і справа за модулем Н, а просто говорять про конгруентність за модулем Н. Оскільки у випадку абелевої групи і, очевидно, , то для абелевих груп вживають тільки терміни суміжний клас і розклад групи G за підгрупою Н.

Цією домовленістю щодо термінології ми скористуємось зараз при розгляді прикладів.

Приклади 1. Знайдемо суміжні класи абелевої групи , де – множина не рівних нулю комплексних чисел, за підгрупою

Оскільки суміжний клас — це сукупність всіх елементів, конгруентних між собою за модулем підгрупи Н, то для опису цієї сукупності треба знайти необхідну і достатню умову того, щоб 2 елементи групи , були конгруентні за модулем Н.

 За означенням , тоді і тільки тоді, коли , тобто коли .

Отже, два числа конгруентні за модулем Н тоді і тільки тоді, коли . Це означає, що довільний суміжний клас групи за підгрупою Н є сукупність всіх комплексних чисел, які мають один і той же модуль. Сукупність всіх комплексних чисел з одним і тим же модулем rгеометрично являє собою коло, радіуса rз центром в початку координат. Отже, геометрично суміжний клас групи за підгрупою Н — коло з центром в початку координат, а сукупність всіх таких концентричних кіл – розклад групи  за підгрупою Н.

2. Нехай адитивна група цілих чисел і mZ =(m)– її підгрупа, що складається із усіх цілих чисел кратних m. Оскільки група Zабелева,то умова конгруентності виглядає так: , тобто тоді і тільки тоді, коли  (ділиться без остачі на m).

Зауважимо, що різниця чисел ділиться на mбез остачі тоді і тільки тоді, коли при діленні на m дають однакові остачі. Справді, нехай . Якщо, , то

Якщо ж , то ліва частина рівності  ділиться на m. Тоді на mповинна ділитись і права . Оскільки Тому подільність можлива тоді і тільки тоді, коли тобто,

Таким чином,два цілі числа a і b конгруентні за модулем mZ підгруп тоді і тільки тоді, коли при діленні на m числа a і b дають однакові остачі. З цього виходить, що будь-який суміжний клас групи Z за модулем mZ, як множина всіх чисел, конгруентних між собою, є сукупністю всіх цілих чисел, які при діленні на дають одну і ту ж саму остачу r. Зрозуміло, що всіх різних класів групи Z за підгрупою mZ є стільки, скільки є різних остач при діленні на m, бо кожна остача Z належить до одного і тільки одного класу. Всіх різних остач при діленні m на m,а саме:0,1,2,…., m -1. Тому всіх різних суміжних класів за модулем mZ теж є m. Відповідно за теоремою 3 суміжний клас К, який є сукупністю всіх цілих чисел, що при діленні на m дають остачу r, можна записати у вигляді r + mZ, бо r = m *0+ r і, значить, r  К. Внаслідок цього розкладу групи Z підгрупою mZ запишеться так:

M={mZ,1+mr,2+mZ,….,(m-1)+mZ}

3. Наведемо ще приклад відношення конгруентності та суміжних класів за цим відношенням в неабелевій групі. Для цього в симетричній групі S_n всіх підстановок n – oго степеня розглянемо підгрупу H,що складається із усіх підстановок n – oго степеня, які елемент n залишають незмінним, тобто переводять його в себе:

H =

Оскільки всі перестановки  з чисел 1,2,…n-1 є

(n-1)! OrH =(n-1)!

Нехай для підстановок справедливо H).r^-1s  і якщо

r^-1= ,внаслідок того, що t ^-1 (n)= t_n і добуток переводиться n в n, остання рівність справедлива тоді і тільки тоді, коли r (t_n) = n, s (t_n)= n. Це означає, що лівий суміжний клас групи за підгрупою є сукупністю всіх підстановок, які в число nпереводять один і той же елементt_n. Інакше кажучи, лівий суміжний клас групи S_n за підгрупою H є сукупністю всіх підстановок, в яких nмає один і той же прообраз.

Із аналогічних міркувань, правий суміжний клас групи S_nза підгрупою H є сукупністю всіх підстановок, в яких nмає один і той же образ.

H=

Внаслідок довільності елемента a^k  всякий елемент із H є степенем елемента, тобто H –циклічна підгрупа породжена елементом a.

Вправи:

1. Навести приклад підгруп деяких конкретних груп.

2. Якщо a  –елемент порядку n, то для яких натуральних чисел sсправедлива рівність a^s ?

3. Показати, що коли H –підгрупа групи G, то для всякого цілого s  Zⁱ елемент a  елемент a^-1 теж належить H.

4. Визначити порядок підстановок і групи.

і  групи

5. Знайти всі підгрупи симетричної групи .

6. Описати всі підгрупи адитивної групи Z цілих чисел.

Оскільки всі перестановки  з чисел то

Нехай для підстановок  справедливо . Тоді  і якщо

 то належність  рівносильна рівності: . Внаслідок того,що  і добуток переводить n в n, остання рівність справедлива тоді і тільки тоді, коли . Отже, конгруенція справедлива тоді і тільки тоді, коли  і  . Це означає, що лівий суміжний клас групи  за підгрупою є сукупність всіх підстановок, які в число n переводять один і той же елемент . Інакше кажучи, лівий суміжний клас групи  за підгрупою H є сукупністю всіх підстановок, в яких n має один і той же прообраз.

Із аналогічних міркувань, правий суміжний клас групи  за підгрупою H є сукупністю всіх підстановок, в яких n має один і той же образ.

Лівосторонній і правосторонній розклади групи  за підгрупою H мають відповідно вигляд:

Ці два розклади мають спільним тільки один суміжний клас-підгрупу . Інші суміжні класи в цих розкладах, мають як легко бачити, різні. Тому розклади теж різні.

Закінчимо даний параграф однією простою, але важливою теоремою, яку встановив ще уXVIII ст.. Відомий французький математик Лагранж для випадку груп підстановок.

Теорема 4(Лагранжа). Якщо група G скінчена і має порядок n, то порядок m всякої підгрупи H є дільником числа n.

Доведення. Оскільки різні суміжні класи групи G взаємно неперерізні, то в силу скінченності групи G кількість різних лівих суміжних класів цієї групи за підгрупою H скінчена і нехай дорівнює k. за властивістю 4^o в кожному лівому суміжному класі є m елементів. Внаслідок цього і того, що різні суміжні класи групи G за підгрупою H спільних елементів не мають, а об’єднання їх співпадає з G, кількість елементів в групі дорівнює mk. За умовою кількість елементів групи G дорівнюєn. Отже, n = mk, звідки m –дільник числа n. Теорема доведена.

Вправи:

1. Довести теорему 1 для відношення конгруентності справа.

2. Чи є операція множення підмножин абелевої групи комутативною?

3. Нехай H – підгрупа групи G. Довести, що сукупність всіх підмножин виду aH,де a - довільний елемент групи G, утворює розбиття групи G.

4. Довести, що коли OrG =р, де р – просте число, то група є циклічною.