Перетворення звичайного дробу в систематичний і визначення довжини періоду систематичного дробу.

 Розглянемо питання про перетворення звичайного дробу в десятковий. Як відомо з арифметики звичайні дроби перетворюються або в скінченні, або не в скінченні періодичні десяткові дроби. При цьому звичайний дріб  перетворюється в скінченний десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли канонічний розклад знаменника має вигляд . тобто не містить ніяких простих множників, крім 2 і 5. Для спрощення вважатимемо  нескоротним правильним дробом.(Якщо він неправильний, то можна спочатку виділити цілу частину). Звичайні нескоротні і правильні дроби виду  перетворюються в скінченні десяткові дроби з числом десяткових знаків, яке дорівнює найбільшому з чисел a або b. Справді, якщо a=b то скінченний десятковий дріб. Якщо , то  скінченний десятковий дріб. Якщо , то  скінченний десятковий дріб.

Легко зрозуміти, що нескоротний дріб виду , де  відмінне від 2 і 5, в скінченний десятковий дріб не перетворюється.

Справді, припускаючи супротивне,маємо

Звідки , де  – дільник числа , що неможливо, бо  відмінне від 2 і 5 за умовою і . Ця суперечність доводить справедливість твердження.

Теорема 1. Якщо канонічний розклад знаменника  нескороченого дробу  не містить у собі множників 2 і 5, то цей дріб перетворюється у чистий періодичний десятковий дріб; при цьому число цифр у періоді дорівнює показнику , до якого належить число 10, за модулем .

Доведення. Для спрощення дріб  вважатимемо правильним. Процес ділення числа на число  при умові  можна схематично зобразити так:

_ a × 10 b	B
	0,
_ b
…….
		_ b
			_ b
			………

Цю схему в свою чергу можна подати у вигляді системи рівностей:

..............................

...........................................

Де — остачі, а — частки проміжних обчислень. Будь-яка остача , очевидно, задовольняє нерівність

а будь-які числа  задовольняють нерівність , тобто є цифрами, з яких складається частка 0,   в схемі (4).

Проаналізуємо властивості чисел і  докладніше. Насамперед нагадаємо, що дріб  є нескоротним і правильним. Це означає, що і . Таким чином, число  є один з найменших додатних лишків ЗСЛ за модулем  Справді

Оскільки числа  взаємно прості, то з першої рівності (5) випливає, що . Справді за умови  випливало б, що вся права частина, а отже, і ліва частина ділилась би на  . Тому числа  не були б взаємно простими, що суперечить (7). За умов і випливає, що остача є одним з найменших додатних лишків ЗСЛ за модулем  . Аналогічно можна показати, що й числа  є найменшими додатними лишками ЗСЛ за модулем . Але ЗСЛ за модулем  може мати не більше  найменших додатних лишків. Тому в системі рівностей (5) настане момент, коли одна з остач дорівнюватиме . Нехай . Тоді  рівність (5) збіжиться з першою рівністю цієї системи. І тому …. Далі, … рівність збіжиться з другою рівністю (5) і тому . Таким чином, остачі  і частки  проміжних обчислень повторюватимуться. Тим самим частка в схемі (4) буде чистим періодичним десятковим дробом виду

Для доведення теореми залишається показати, що перше повторення настане після  кроків проміжних обчислень, де  – показник, до якого належить 10 за модулем  . Справді, якщо  – найменший показник, при якому здійснюється конгруенція

то при  рівносильною їй є і конгруенція

Остання конгруенція якраз і показує, що, приписавши до  нулів, що відповідає визначенню  послідовних цифр частки, дістанемо при діленні на  остачу . При діленні  на  при  аналогічно дістанемо через  ділень остачу, яка дорівнює числу . Отже, частка (8) має вигляд , що й треба було довести.

Зауваження. З конгруенції  випливає, що або  .

 Іншими словами, число 999…9, що складається з  дев’яток – найменше з можливих чисел такої структури, яке ділиться на . Це дає можливість досить легко знаходити число . Для цього треба послідовно ділити на  числа 9, 99, 999, 9999, … і т. д., аж поки таке ділення не відбудеться. Кількість дев’яток у такому числі і дорівнює числу .

Теорема 2. Якщо канонічний розклад знаменника  нескоротного дробу  має вигляд  ,де  то цей дріб перетворюється у мішаний періодичний дріб; число цифр до періоду дорівнює g, де g – найбільше з чисел a і b; число цифр періоду дорівнює d, де d – показник, якому належить число 10 за модулем .

Доведення. Дріб

помножимо на  , де  . Матимемо

і далі

За теоремою 1, дріб  перетворюється в чистий періодичний дріб з числом цифр у періоді, яке дорівнює , де  – показник, до якого належить 10 за модулем . Щоб з нього дістати початковий дріб , треба розділити його на , або інакше, перенести кому в знайденому періодичному дробі на g знаків ліворуч; у результаті дістанемо мішаний періодичний дріб з числом g цифр до періоду. Теорему доведено.

Приклади.

1. Знайти число цифр періоду десяткового періодичного дробу, в який перетворюється дріб .

Ділимо на 39 послідовно числа 9, 99, 999, 9999, 99999. Нарешті з’ясовується, що тільки число 999999 націло ділиться на 39. Кількість дев’яток у цьому числі визначає довжину періоду:  .

2. Знайти число цифр, яке міститься до періоду, і довжину періоду періодичного дробу, в який перетворюється дріб .

Знаменник цього дробу в канонічному розкладі має вигляд . Тому  є найбільшим з показників степеня цифр 2 і 5. Це означає, що періодичний десятковий дріб має дві цифри до періоду. Найменше з чисел, складених з дев’яток, яке ділиться на 11, є число 99. Воно складається з двох дев’яток. Це означає, що довжина … періоду періодичного дробу дорівнює 2. І справді, як неважко перевірити, розглядуваний дріб перетворюється в такий періодичний дріб:

 

 

.