Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
І. Означення та приклади підгруп.
Досі ми говорили про групи взагалі і не цікавились їх будовою та частинами, яких вони складаються.Одначе, вивчення структури групи, зокрема, їх підмножини представляє значний інтерес. Серед усіх підмножин групи G особливо виділяються ті множини, які самі є групами відносно операції, заданої в G, такі підмножини називаються підгрупами,їх вивчення ми і ознайомимось зараз. Означення 1. Підмножина Н групи G, яка сама є групою відносно операції, заданої в G, називається підгрупою групи G. Оскільки групова операція, будучи асоціативною на всій групі G, є асоціативною і на всякій підмножині групи G, та одиничний елемент групи G єдиний, то означення 1 безпосередньо виходить, що підмножина Н групи G є підгрупою тоді і тільки тоді, коли справджуються такі умови: 1) () :ab 2) Одиничний елемент е групи G належить підмножині Н, 3) (): Зауважимо, що умова 2) є наслідком умов 1) і 3). Справді, якщо не порожня підмножина Н групи G задовольняє умови 1) і 3), то разом із довільним своїм елементом а підмножини Н містить (умова 3) і елемент (умова 1). Отже, одиничний елемент е Н. Т.ч., справедливий такий критерій. Теорема 1. Підмножина Н групи G є підмножиною групи G тоді і тільки тоді, коли а) (): ab ; b) (): . Приклад 1. Група є підгрупою групи , остання є підгрупою групи , а ця в свою чергу є підгрупою групи . В цьому легко переконатись перевіряючи умови a) та b) теореми 1. 2. Множина всіх комплексних чисел, модуль яких дорівнює 1, є підгрупою групи , де — множина комплексних чисел відмінних від нуля. Справді, оскільки модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів, добуток двох чисел із належить Крім того, якщо z , то z і, значить існує , причому = = , тобто . Множина Pn всіх парних підстановок є підгрупою симетричної групи . Справді для ():( розкладаються в парне число транспозицій. Крім того, як відомо, підстановка, обернена до парної,є парною. Отже, є підгрупою симетричної групи . Підгрупа називається знакозмінною групою n -го степення. З деякими іншими групами підстановок ми ознайомились на практичних заняттях. ІІ. ПІДГРУПИ ДОВІЛЬНОЇ ГРУПИ.ЦИКЛІЧНІ ПІДГРУПИ. Вище були наведені приклади підгруп в конкретних групах. В цьому пункті будуть вказані підгрупи довільної групи, детально зупинимося на так званих циклічних підгрупах.
1. Тривіальні підгрупи. Якщо в групі G взяти підмножину , що складається з одного одиничного елемента е, то вона є підгрупою G, бо e × e = e і e -1= е. Ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи G. Очевидно також, що вся група G є підгрупою самої себе. Підгрупи та G називаються тривіальними підгрупами групи G. Якщо група G відмінна від одиничної групи , то в ній підгрупи, відмінні від і G, які називаються нетривіальними. 2. Перетин підгруп. Якщо H 1 і H 2 —підгрупи групи G, то їх перетин Н = H 1 H 2 теж є підгрупою групи G. Дійсно, якщо , то і . Оскільки і —підгрупи, то внаслідок умови а) теореми 1 і , звідки =Н. Аналогічно якщо = і і на підставі того, що і —підгрупи , і (умова b теореми 1), тобто . Т.ч., підмножина Н G задовольняє умовам теореми 1, і, значить є підгрупою. 3. Циклічна підгрупа. Нехай а – довільний елемент групи G і (а)= – сукупність всіх степенів елемента а з цілими показниками. Множина (а) є підгрупою групи G. Справді для (: = і для (: (а). Елементи є степенями елемента а і тому належить (а). Таким чином, множина (а) задовольняє умовам теореми 1 і тому є підгрупою групи G. Ця підгрупа називається циклічною підгрупою, породженою елементом (а). Означення 2. Сукупність всіх степенів елемента a , де G – довільна група з цілими показниками називається циклічною підгрупою групи Г, породженою елементом a і позначається (a). Нехай G – група і а – довільний її елемент. Тоді можуть мати місце такі випадки: 1) Будь-які два степені елемента а при різних показниках не рівні, тобто (. Елемент а при цьому називається елементом нескінченного порядку. Наприклад, число 2, в групі є елементом нескінченного порядку: . Зрозуміло, що циклічна група (2), породжена елементом 2, є в даному випадку нескінченою. Існують такі , що . Якщо для означеності прийняти , то матимемо =1, причому натуральне число. Отже в даномувипадку існують такі натуральні числа s, що as = е. Найменше з чисел s, таких що as =е, називається порядком елемента a. Точніше, якщо(s N): as = е, що елемент а називається елементом скінченного порядку, а саме порядку n, якщо найменше з чисел s, таких що as = е.
Для прикладу візьмемо число (уявна одиниця) в групі < ,·> і розглянемо його степені. Матимемо: i0 i 0=1, і, i 2= -1, i 3= -1, i 4=1, i5 =і, i 6= -1, i 7= -1, i 8=1,… Як бачимо, існують натуральні числа s, а саме s =4,8,…, при яких is =1. Найменшим з них є 4. Отже, і – число порядку 4. Циклічна підгрупа (і), породжена елементом і, є скінченною – має 4 різні числа 1, i,-1,- i. Отже, її порядок (кількість елементів) співпадає з порядком породжуючого числа i. Тільки що наведені два приклади дозволяють сподіватися, що справедливим є таке твердження: Теорема 2. Порядок циклічної підгрупи (а) групи G співпадає з порядком породжую чого її елемента а. Доведення. Якщо елемент а є елементом нескінченного порядку, тобто при різних показниках степені елемента а різні, то підгрупа (а) містить безліч різних елементів, тобто її порядок теж нескінченний. Нехай тепер елемент а має скінченний порядок n. Треба довести, що кількість елементів в групі (a) дорівнює n. З цією метою з підгрупи (а)={… …, }. Виберемо елементи …, і покажемо, що 1)всі елементи системи (1) різні, 2) будь-який інший елемент , (m≠0,1,2,…,n-1) підгрупи (a) співпадає з деякими елементами системи(1). Щоб довести, що будь-які два елементи системи (1) різні, припустимо,що деякі з цих елементів співпадають,тобто, припустимо,що ,(0≤k≤m≤n-1) Домноживши останню рівність справа на матимемо Оскільки 0<m-k<n, то остання рівність означає, що знайшлося натуральне число s=m-k<n, при якому =е. Останнє не можливе, бо а- елемент n-го порядку. Отже всі елементи системи (1) різні. Нехай тепер ,(m≠0,1,2,…,n-1)- довільний елемент, що не ввійшов в систему (1). За теоремою про ділення з остачею ми матимемо,що ()(m = nq + r)^(0≤ r < n). Тоді = * = =e* . Отже, , 0≤r<n, тобто елемент співпадає з котримось з елементів системи (1). Таким чином ми показали, що в підгрупі (a) є n різних елементів …, і це означає, що Or(a)=n=Or a. III.ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ. Є випадки, коли вся група G співпадає із деякою із своїх циклічних підгруп, тобто із сукупністю всіх степенів з цілими показниками деякого із своїх елементів а. Така група називається циклічною, елемент а- її твірним елементом. Приклади. 1. Мультиплікативна група Kn всіх коренів n -го степеня з 1 є циклічною. Справді, група Kn складається з чисел +isin (k=0,1,2,…,n-1). Очевидно, що на підставі формули Муавра (k=0,1,2,…,n-1). 2. Адитивна група є циклічною. Пригадаємо, що у випадку адитивної групи замість n -го степеня елемента а, розглядають елемент, n -кратний a, na = . Тоді : n= Цеозначає,що - циклічнаітвірнимелементомїїє 1, тобто Z=(1). Характерно властивістю циклічних груп є те, що можна легко описати всі їх підгрупи. Теорема 3. Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною. Доведення. Нехай G =(а)- циклічна група з твірним елементом а і Н - довільна її підгрупа. Треба довести, що Н - циклічна підгрупа. Внаслідок того, що кожен елемент групи G є степенем елемента. Всі елементи підгрупи Н є теж степенями елемента а. Зауважимо, що коли Н - тривіальна група, то вона, очевидно,циклічна, а якщо Н - нетривіальна група, то серед її елементів обов’язково є степінь з натуральним показником. Дійсно, Н містить елемент з натуральним показником. Якщо k <0, то = Н і знову Н містить степінь a з натуральним показником – k. Таким чином, всіх степенів елемента a з натуральними показниками, які належать підгрупі Н, непорожня. Оскільки всяка підмножина множини натуральних чисел має найменше число, то і серед натуральних показників степенів елемента a, які належать підгрупі Н, є найменший показник
Покажемо, що елемент є породжуючим елементом підгрупи Н. Для цього візьмемо довільний елемент підгрупи Н і на підставі теореми про ділення з остачею запишемо співвідношення k = , де q, r Z і 0≤ r < зокрема, r = k - . Тоді . Якщо – q >0, то . Н, як добуток елемента самого на себе –q раз, якщо – q =0,то = e Н, якщо ж – q <0, то = і знову належить Н, як добуток елемента оберненого амого на себе |- q | раз. Оскільки Н, то Н, як добуток елементів є Н. Якби r то в силу нерівності r < в Н знайшовся би елемент із натуральним показником, меншим за k 0, що суперечить вибору . Отже, r =0. Тоді k = Внаслідок довільності елемента
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 147; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.193.129 (0.022 с.) |