Алгебраїчні структури з однією операцією. Означення групи, найпростіші властивості груп.

ГРУПИ

Література:

1. А. Г. Курош, курс высшей алгебры, М

2. Б. Л. Вандер Ванден, Современная алгебра, ч. І, М.-Л, ОГИЗ, 1947г.

3. Л. А. Калужин, Введение в общую алгебру, М, Наука, 1973г.

Як зазначалось в курсі алгебри першого семестру, основним об’єктом вивчення в алгебрі є алгебраїчні структури. Під алгебраїчною структурою розуміють множину М, на якій задана деяка система алгебраїчних операцій, які задовольняють деякі умови-аксіоми структури. Як відомо, алгебраїчні операції діляться на два типи:внутрішні закони композиції і зовнішні закони композиції. В даному розділі під алгебраїчною операцією, означеною на множині М, розумітимемо скрізь бінарний внутрішній закон композиції на М, тобто відображення прямого добутку М× М в М.

Раніше ми ознайомилися з однією важливою алгебраїчною структурою — полем. Структура поля означається шляхом задання на множині двох алгебраїчних операцій — додавання і множення, які задовольнють відомим дев’яти аксіомам. Але найпростіші серед алгебраїчних структур є структури, які означаються однією алгебраїчною операцією. До вивчення таких структур ми зараз і приступимо.

Алгебраїчні структури з однією операцією. Означення групи, найпростіші властивості груп.

І. АЛГЕБРАЇЧНІ C ТРУКТУРИ З ОДНІЄЮ ОПЕРАЦІЄЮ.

Озн ачення 1. Не порожня множина М, на якій означена одна алгебраїчна операція, називається групоїдом.

Алгебраїчну операцію що визначає групоїд, будемо найчастіше називати множенням і вживати мультиплікативний запис a × b. Підкреслимо, що операція, яка визначає групоїд М, повинна бути скрізь означеною на множині М, тобто

Щоб відзначити, що групоїд визначається двома компонентами — множиною М і алгебраїчною операцією, означеною на ній, — часом для групоїда вживають таке позначення: . Як видно з означення, на операцію, яка визначає групоїд, не накладається жодних умов.

Приклади.

1. Множина всіх векторів трьохвимірного простору R, є групоїдом, якщо під алгебраїчною розуміти операцію знаходження векторного добутку двох векторів.

2. Множина всіх підстановок n -го степеня з операцією множення підстановок утворює групоїд.

3. Якщо в множині R всіх дійсних чисел розглядати тільки операцію додавання чисел, то сукупність є групоїдом.

Як відомо, операція знаходження векторного добутку двох векторів є асоціативною і комутативною, відносно неї не існує нейтрального елемента. Операція множення підстановок є асоціативною, але не є комутативною, відносно неї існує одиничний елемент і для кожної підстановки — обернена. Операція додавання дійсних чисел є асоціативною і комутативною, відносно неї існує нульовий елемент і для кожного числа — протилежне.

Як бачимо, в деяких групоїдах алгебраїчна операція насправді задовольняє тим чи іншим умовам. Це дає можливість прокласифікувати групоїд в залежності від того, яким умовам задовольняє алгебраїчна операція групоїду. Ми зупинимось тільки на двох класах групоїдах — півгрупах і групах. Півгрупа — це групоїд, алгебраїчна операція якого є асоціативною. Група — це півгрупа, в якій існує одиничний елемент і для кожного елемента — обернений. Зараз дамо детальніші означення цих об’єктів і вивчимо їх деякі властивості.

ІІ. ПІВГРУПА.

Означення 2. Непорожня множина М, на якій означена одна алгебраїчна операція, яка є асоціативною, називається півгрупою.

Приклади.

1. Множина всіх підстановок n -го степеня з операцією множення підстановок утворює півгрупу.

2. Групоїд , де R — множина всіх дійсних чисел, теж є півгрупою.

3. Множина всіх матриць n -го порядку утворює півгрупу відносно операції множення матриць, бо множення матриць є асоціативним. В цій півгрупі існує одиничний елемент — одинична матриця Е, але не для кожної матриці існує обернена.

4. Сукупність  і , деN— множина натуральних чисел, утворюють півгрупи, причому в першому випадку нейтральний елемент (І) належить півгрупі, а в другому випадку півгрупа не містить нейтрального елемента (0).

5. Множина P всіх цілих парних чисел утворює півгрупу відносно операції множення (добуток парних чисел — парне число, множення чисел асоціативне), причому ця півгрупа нейтрального елемента (І) не містить.

Наявність асоціативного закону для операції півгрупи М дозволяє однозначно ввести в М поняття добутку 3, 4, …, n елементів. Оскільки , то добуток трьох елементів можна прийняти будь–який із елементів  і . Приймемо за означенням:

Добуток 4, 5, …, n елементів означимо рекурентно:

……………………………………………………………………………………

Наявність асоціативного закону для операції півгрупи дозволяє в добутках, що містять більше двох співмножників (такі добутки будемо умовно називати складеними), довільно розставляти дужки. Цей факт випливає з такої теореми:

Теорема 1. Добуток двох складених добутків дорівнює складеному добутку всіх співмножників, що входять до їх складу, взятих у тому ж порядку, тобто (1)

Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції по n.

1. Якщо n =1, то формула (1) прийме вигляд: , яка є справедливою згідно прийнятого означення добутку (m +1)-го елемента.

2. Припустимо, що формула (1) справедлива для деякого n, треба довести, що вона справедлива для n +1:

Використовуючи означення добутку (m + n)+1 елементів і асоціативність алгебраїчною операції, послідовно матимемо:

Отже, формула (1) справедлива при n, то вона справедлива і при n +1. На підставі принципу математичної індукції можна стверджувати, що формула (1) справедлива при будь-якому n.

Наслідок. В складеному добутку можна вільно розставляти дужки.

Справді, тому що у формулі (1) послідовно брати m =1, 2, …, n -1, то дістанемо:

В кожній із одержаній дужок можна на підставі теореми 1 знову довільно розставляти дужки, наслідок чого ми одержимо, наприклад, таке:

ІІІ.ОЗНАЧЕННЯГРУПИ.ПРИКЛАДИ. НАЙПРОСТІШІВЛАСТИВОСТІ ГРУП.

Означення 3. Не порожня множина G називається групою, якщо на ній означена одна алгебраїчна операція, яка задовольняє таким умовам:

1) Алгебраїчна операція асоціативна, тобто ,

2) в G існує одиничний елемент е такий, що ,

3) для кожного елемента G існує обернений елемент G такий, що a = a = e.

Якщо алгебраїчна операція, означена в групі, є додатково комутативною, то група називається комутативною або абелевою.

Приклади.

1. Система , де – множина додатних дійсних чисел утворює групу, бо ( a, b є ) a, b є ) і операція множення задовольняє аксіомам групи: 1) множення дійсних чисел асоціативне. 2) в  існує одиничний елемент – число 1. 3)для кожного числа а є обернене число існує і належить  .

2. Множина  всіх дійсних чисел без нуля теж утворює групу відносно операції множення дійсних чисел. В цьому переконуємось так само як і в прикладі 1.

3. Множина  всіх дійсних чисел утворює групу відносно операції додавання дійсних чисел. Справді, операція “+” в R задовольняє аксіомам групи: 1) Операція “+” асоціативна. 2) в R існує нейтральний елемент – число 0. 3)для всякого числа а існує симетричний елемент – протилежне число – а.

4. З аналогічних міркувань система , де Z – множина усіх цілих чисел є групою.

5. Множина  всіх невироджених матриць n -го порядку над полем P утворює групу відносно операції множення матриць. Дійсно ()АВ , бо за теоремою про визначник добутку матриць  Крім того, 1)Множення матриць асоціативне. 2)В існує одиничний елемент – одинична матриця E. 3)Всяка неособлива матриця має обернену, яка, крім того ж належить , бо на підставі теореми про визначник добутку матриць із рівності =E виходить =1 і значить,

6. Множина =  всіх значень кореня n -ого степеня з 1 утворює групу відносно операції множення комплексних чисел. Справді, якщо , бо = =1. Операція множення задовольняє аксіомам групи: 1) множення комплексних чисел асоціативне, 2) одиниця належить =1, 3) ()() і , бо = =1.

7. Множина  всіх підстановок n -ого степеня очевидним чином утворює групу відносно операції множення підстановок.

Зауважимо, що групи в прикладах 1-4 і в 6 є абелевими, а групи в прикладах 5 і 7 – неабелеві. Зауважимо також, що алгебраїчні операції в конкретних групах є або операціями множення, або операціями додавання. Групи, в яких алгебраїчні операції є множенням називаються мультиплікативними, а групи, в яких алгебраїчні операції є додаванням, є адитивними. З наведених прикладів видно, також, що одні групи мають безліч елементів – нескінченної групи (групи прикладів 1-5), інші мають скінченну кількість елементів – скінченні групи (групи прикладів 6 і 7). Кількість елементів у скінченній групі G називається порядком цієї групи і позначається Or )= n, а в прикладі 7 Or )= n!. В скінченних множинах групову операцію зручно задавати за допомогою таблиць множення, так званих таблиць Келі. В множині ,що складається з двох поворотів площини навколо нерухомої точки О – точки повороту l на кут  і повороту
 на кут операцією множення задамо такою таблицею Келі:

 

	e
e	e
		e

Легко перевірити, що множина  із заданою операцією є групою.

Вправи. I. Дослідити, чи утворює групу:

1) множина N всіх натуральних чисел відносно додавання і відносно множення чисел,

2) множина Q всіх раціональних чисел відносно додавання і відносно множення чисел,

3) множина  відносно операції множення чисел,

4) множина всіх парних підстановок n -ого степеня відносно операції  множення підстановок,

5) множина всіх непарних підстановок n -ого степеня відносно операції  множення підстановок.

II. Скласти таблицю Келі для симетричної групи  .

Відзначимо декілька найпростіших властивостей груп, які безпосередньо випливають з означення аксіоматики групи.

. В усякій групі  одиничний елемент е є єдиним і для всякого елемента а G обернений елемент  теж єдиний.

Ця властивість є безпосереднім наслідком теорем, доведених у курсі алгебри першого семестру, про єдиність нейтрального елемента і симметричного елемента в множині з асоціативною алгебраїчною операцією.

. Для всяких елементів а, b G рівняння ax = b та ay = b мають єдині розв’язки відповідно x = b та y = b .

Доведення цієї властивості проводиться точно так само, як і доведення відповідної властивості полів.

. ( a, b G)(( = ), тобто елемент обернений до добутку, дорівнює добутку елементів, взятих у зворотному порядку.

Доведення. Щоб показати, що елемент  є оберненим до ab треба показати на підставі означення оберненого елемента, що і (ab)( е і (ab)=е. Покажемо справедливість першої рівності (друга – аналогічно): (ab)( а(b ) =(ae) = a = e.

Подібно до того, як вводиться степінь з цілим показником для дійсного числа, поняття степеня з цілим показником можна ввести для будь-якого елемента групи.

Означення 4. Нехай G – група і n – ціле число. Тоді

,

Правила дій над степенями елементів групи ті ж, що і над степенями дійсних чисел:

4^*. Якщо G – група, то ( а G, m, n Z): а ^m а ⁿ = а ^{m + n}.

Доведення. В залежності від знаків чисел і розглянемо кілька випадків.

1) m ≥ 0, n ≥ 0. Тоді на підставі означення 4 і теореми 1

а ^m а ⁿ =  = a^{m + n}.

2) m ≥ 0, n ≤ 0. Тоді n = -| n |  і, використовуючи означення 4 і теорему 1, матимемо:

 =

3) m ≤ 0, n ≥ 0. Розглядається аналогічно випадку 2).

4) m ≤ 0, n ≤ 0. Розглядається аналогічно випадку 1).

Наслідок. В групі G ( а G) ( n Z): (а ⁿ) ^-1  = а ^{- n}, тобто, елементом, оберненим до а ⁿ,є а^{- n}

Справді, а ⁿ а ^{- n} = а ^{n - n} = а ⁰ = е,

а^{- n} а ⁿ = а ^{– n + n} =а⁰= е.

Методом математичної індукції властивість 4 можна розповсюдити на довільну скінчену кількість співмножників

5 . В групі G для

:( ) ⁿ =

Доведення. Розглянемо два випадки.

1) m – довільне, n . Тоді на підставі властивості 4  і означення 4

2) m – довільне, n <0. Використовуючи означення 4, наслідок з властивості 4  і перший пункт доведення даної властивості, матимемо:

= ⁼ = .

Вправа. Перефразувати властивості 3-5 для адитивних груп.

Зауважимо, що при переході до адитивних груп поняття n-ого степеня елемента  замінюється поняттям n-кратного елемента елементу

    

 

 

Означення 10.

Перша рівність означає. Що елемент (-а) b має бути протилежним до а b, тобто, має виконуватись рівність: а b +(-а) b =0.

Ця рівність легко випливає із аксіом 6) і 4) та властивості 9:

а b + (-а) b = (а+ (-а)) b = 0 b =0.

Аналогічно доводиться, що а(- b)=-а b.

Справедливість останньої рівності легко виводиться із перших двох

(-а)(- b)=-а(- b)=-(-а b)=а b, бо із рівності а+(-а)=0 в аксіомі 4) виходить, що (-а)+а=0, тобто елементом, протилежним до (-а) а –(-а)=а.

Означення 11. Якщо ненулевий елемент а К не є дільником нуля, то із рівності а  =а  ( ,  К) випливає: . Це означає, що рівності можна скорочувати на ненульовий елемент, який не є дільником нуля.

Справді, додавання до обох частин рівності а  =а  елемент - а , ми одержимо:

а  - а 0

або в силу властивості

a ()=0.

Оскільки елемент а не є дільником нуля, то =0, тобто .

Зауважимо, що скорочувати рівності на дільники нуля не можна. Справді, як легко пересвідчитись, в кільці М  справедлива рівність

 в той час, як

 

ІІІ. Підкільце.

Одним із важливих напрямків в теорії кілець є вивчення кілець підмножин кільця. Серед усіх підмножин кільця особливо виділяються ті підмножини, які самі є кільцями відносно операцій, означених в усьому кільці.

Означення. Підмножина К  кільця К, яка сама є кільцем відносно операцій, означених в К, називається підкільцем кільця К.

Наступна теорема дозволяє спростити фактичну перевірку того, чи утворює певна підмножина кільця його підкільце.

Теорема 1. Підмножина  кільця К є підкільцем кільця К тоді і тільки тоді, коли

1) ( а, b ): а+ b ,

2) ( а ): - а ,

3) ( а, b ): а b .

Доведення. Якщо підмножина К є підкільцем К, то виконання умов 1)-3) гарантоване означенням кільця К.

Якщо підмножина  кільця К, навпаки, задовольняє умовам 1)-3), то із умов 1) і 3) випливає, що вона замкнена відносно операції додавання і множення кільця К, тобто, що на К задані операції додавання і множення, причoму  можна розглядати незалежно від включення < К. Оскільки все ж таки < К і в задані ті ж операції, що і в усьому кільці К, то підмножина задовольняє аксіомам 1),2),5),6) із означення кільця.

Із умови 2 випливає,що для всякого а елемент –а  . Тоді із умови 1) випливає, що а+(-а)=0 належить  . Отже в існує нулевий елемент 0 і для всякого а існує – а що теж належить  . Отже, підмножина  задовольняє всім аксіомам із означення кільця, тобто вона є підкільцем кільця К.

Приклади. 1. Підмножина Р усіх парних цілих чисел є підкільцем кільця Z цілих чисел.

Справді, сума, добуток, парних чисел і число, протилежне до парного, є парними. Це означаєщо Р задовольняє умовам теореми 1, значить Р є пілкільцем кільця Z.

2. Множина Р усіх парних неперервних функцій утворює підкільце кільця С усіх неперервних функцій на [-1,1].

Дійсно, для довільних функцій f (x), g (x) Р справедливо:

(f+g)(x)= f (-x)+ g (-x)= f (x)+ g (x)=(f+g)(x),

(fg)(x)= f (-x) g (-x)= f (x) g (x)=(fg)(x),

(-f)(-x)= -f (-x)= -f (x)=(-f)(x).

Отже,

( f, g  Р): f + g, fg, - f Р,

Тобто, множина Р на підставі теореми 1, є підкільцем кільця С.

3.Множина D  усіх діагональних матриць n-го порядку є підкільцем кільця М  усіх матриць n -го порядку над полем Р, бо сума, добуток діагональних матриць, і матриця, протилежна до діагональної, є діагональними.

Зауваження. Умова 2) у формулюванні теореми 1 може бути замінена умовою:

2′) (  а, b  К): а - b  К.

Справді, якщо умова 2′) виконується, то для всякого елемента b існує - b і тоді на підстав умови 1) ми матимемо:

а- b = а +(- b)

Навпаки, якщо справджується умова 2′), то

(  а,  К): -а=0-а ,

Бо 0=а-а і значить, належить .

Закінчемо параграф переліком деяких підкілець довільного підкільця.

1. Множина О={o}, яка складається тільки з одного нульового елемента кільця К, утворює, очевидно, підкільце кільця К. Це підкільце називають нульовим підкільцем К.

2. Кільце К є, очевидно, підкільцем самого себе. Підкільце О і К називають тривіальними підкільцями кільця К, а всі інші підкільця – нетривіальними або властними підкільцями.

3. Якщо Кα – деякі підкільця кільця К, то їх перетин Ко= теж є підкільцем кільця К.

Дійсно, якщо a Кα, то a Кα при всякому α. Оскільки Кα - підкільце, то –а Кα. Значить, при всякому α елемент –а Кα. Тому –а = Ко. Якщо а, b Кα, то при всякому α а, b Кα і отже, внаслідок того, що Кα підкільце, а+ b, а b Кα при всякому α. Таким чином, а+ b, а b = . Як бачимо,  задовольняє умови теореми 1і тому є підкільцем кільця К.

Відомо, яку важливу роль в теоремі груп відіграють циклічні підгрупи (а), породжені елементом а. В наступному пункті побудоване підкільце, яке є аналогом циклічної підгрупи.

4. Нехай К - деяке кільце, а - елемент кільця К. Тоді множина Кα усіх можливих сум

+ +….+ ,

де n1,  - довільні цілі числа, , ,.. довільні натуральні числа, утворює підкільце кільця К, яке називається підкільцем, породженим елементом a. За означенням

Кα =

Щоб показати, що множина Кα - підкільце кільця К, досить перевірити виконання 1.-3. Із теореми 1. В силу асоціативності додавання виконання умови 1. Очевидне, бо скінчених сумах можна довільно розставляти дужкиі, зокрема, їх опускати:

( + +….+ +( ) =( ) Кα

2.Гомоморфізми та ізоморфізми кілець

1.Як відомо, одним із основних понять математики є поняття, функції, відображення. Це поняття вивчається і в математичному аналізі,і в геометрії,і в алгебрі. При вивченні алгебраїчних структур найбільший інтерес становлять ті відображення, які певним способом узгодженні із алгебраїчною структурою, що вивчається. В теорії груп такими відображеннями є гомоморфізми, тобто, такі ж відображення f групи G в групу  що

( а, b G): f (ab)= f (a)

В теорії кілець вивчаються відображення, які аналогічним способом узгоджені з алгебраїчними операціями, означеними в кільці. Такі відображення називаються кільцевими гомоморфізмами.

Означення 1. Відображення f кільця К в кільце називається гомоморфізмом, якщо

( а, b К): f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b).

Перша з цих умов означає, що кільцевий гомоморфізм f в груповим гомоморфізмом адитивної групи кільця К в адитивну групу кільця . Внаслідок цього всі властивості групових гомоморфізмів справедливі і для кільцевих гомоморфізмів. Зокрема:

1. f (o)=0;

2.( а,  К): f (- a)=- f (a)

Аналогічно, як і випадку груп, гомоморфізм f: K , який ін’єктивним відображенням, називається мономорфізмом: гомоморфізм f: K , який є сур’єктивним відображенням, називається епіморфізмом: гомоморфізм f: K , який є бієктивним відображенням, називається ізоморфізмом.

У зв’язку із властивостями 1. i 2. Виникає питання, чи не будуть аналогічні властивості справедливі відносно операцій множення. Виявляється, що будуть, але при деяких обмеженнях на кільця або на відображення f.  Сформулюємо їх:

3. Якщо в кільці К існує 1 i f є епіморфізмом кільця К в кільці , то вкільці = .

Справді, внаслідок сур’єктивності відображення f:

(  а ) ( а  К):

Тоді

(  а ):

(  а ): f (1)

Звідси виходить, що елемент f (1) відіграє роль одиниці в кільці тобто f (1)= . Зауважимо, що одиничні елементи в кільцях К і є єдиними.

4.Якщо в кільці К існує І, кільце областю цілісності з одиницею , то для всякого гомоморфізму f: K справедливо f (1) = .

Дісно,

(  а К)f(a)=f(a 1)=f(a)f(1)

і з другого боку, f(a)=f(a) , звідси f(a)f(1)=f(a)  або інакше

f (a) [ f (1)-

Оскільки в К нема дільників нуля і а можна підібрати так, щоб а є К ми включаємо тривіальний випадок: (  а ): f (a)=0), то з наступної рівності виходить, що f (1)= , відповідно, і відображення f: K

є таким, що f (1)=  Якщо існує обернений елемент для  для елемента а  К, то існує обернений елемент для f (a) і при цьому

f ( )= .

Твердження випливає із рівностей:

f (a) f ( )= f (a )= f (1)= ,

f ( ) f (a)= f ( )= f (1)= .

Для групового гомоморфізму вводять поняття ядрa Kerf і області значень Imf. Аналогічні поняття вводяться і для кільцевого гомоморфізму.

Означення 2. Ядром гомоморфізму f: K називається множина Kerf всіх тих елементів f  К, які відображенням f переводяться в нулевий елемент 0 кільця :

Ker f ={ }

Областю знаень або образом гомоморфізму f: K називається множина Imf всіх тих елементів в , для яких існують такі елементи х  К, що

Im f ={ }.

Як відомо, у випадку групового гомоморфізму f: G множини Ker f і Im f є підгрупами груп G і  відповідно. Неважко перевірити, що у випадку кільцевого гомоморфізму f: K множини Kerf і Imf є підкільцем кільця К і відповідно. До цього питання ми ще повернемось в параграфі 3.

Приклад. Розглянемо кільце  усіх діагональних матриць 3-го порядку.

і кільце усіх трьохвимірних векторів

 в якому операції задані так:

Задамо відображення f: D таким способом: якщо