Исследование надежности невосстанавливаемых изделий

 

Рассмотрим сначала невосстанавливаемые изделий т.е. изделия, заменяемые после первого отказа. Пусть под нашим наблюдением находится 75 термостатов автомобильных двигателей (N o). Термостаты — изделия неремонтируемые. Будем фиксировать наработки, при которых произойдут отказы термостатов, и сведем полученные данные в табл. 1. Зафиксированный первичный учет наработок термостатов до отказа здесь не приводится. Таблицу составим следующим образом.

Среди зафиксированных наработок найдем минимальную t_min и максимальную t _max. В нашем случае t_min = 8 тыс. км и t _max=97 тыс. км (эти данные содержатся в картах первичного учета).

Определим диапазон наработок, внутри которого имели место отказы:

 

                                                                                          R=t_max - t_min                                           (9.1)

 

В нашем примере R = 97 — 8=89 тыс. км.

Разделим диапазон R на интервалы, внутри которых сгруппируем всю совокупность наработок. Длину интервала рекомендуют подсчитывать по формуле:

 

                                                                          Δ t=R/( 1+3.3lg N ₀ )                                              (9.2)

В нашем примере Δ t = 89/(l+3,3 1g75) =12,4 тыс. км. Округлим и примем Δ t =10 тыс. км.

Зададимся левой t лев и правой t прав границами интервалов группирования.

t _лев должна быть меньше t _min, а /прав — больше t _max- Примем t лев = 0, а t прав=100 тыс. км. Тогда число интервалов

k = 100/10 =10. Пронумеруем интервалы от i =l до i =10 и впишем их в таблицу 9.1 Найдем середины каждого интервала: t_i = 5; 15;...; 95 тыс. км. Впишем в соответствующие графы число изделий п_i, отказавших внутри каждого интервала. Это число называют весом. Если какое-то число отказов окажется на границе интервалов, то в каждый смежный интервал прибавляют по 1/2 наблюденного числа отказов.

Например, пусть зафиксировано восемь отказов при наработке t = 80 тыс. км. Тогда в интервалы № 8 и № 9 надо добавить по четыре отказа.

 

Таблица 9.1

Определяемый параметр		Обозначение и формулы расчета	Номера интервалов наработки
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Границы интервала наработки, тыс. км		—	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
Значение середины интервала, тыс. км		t i	5	15	25	35	45	55	65	75	85	95
Число отказов в интервале (вес)		n i	1	1	0	5	10	16	19	15	7	1
Число отказов к моменту ti (накопленное число отказов)		r(t i ) =	1	2	2	7	17	33	52	67	74	75
Число работоспособных объектов к моменту ti		N (ti)=No- r(ti)	74	73	73	68	58	42	23	8	1	0
Относительная доля отказов в интервале (частость)		ωi= n i/ No	0,013	0,013	0,000	0,067	0,133	0,214	0,254	0,200	0,093	0,013
Накопленная частость отказов (оценка вероятности наступления отказа)		F(ti)=r(ti)/N o	0,013.	0,026	0,026	0,093	0,227	0,440	0,693	0,893	0,987	1,000
Накопленная частость безотказной работы (оценка вероятности безотказной работы)		P(ti)=N(ti)/ N o	0,987	0,974	0,974	0,907	0,773	0,560	0,307	0,107	0,013	0,000
Оценка плотности распределения наработки до отказа (оценка плотности вероятности)		f(ti)=ni/N oΔ t	0,0013	0,0013	0,0000	0,0067	0,0133	0,0214	0,0254	0,020	0,0093	0,013

Прежде чем продолжить изучение других показателей надежности, познакомимся с такими понятиями, как генеральная совокупность и выборка.

Автопредприятие обычно интересуется надежностью находящихся в его распоряжении автомобилей. Генеральной совокупностью в нашем случае будет называться совокупность машин одной марки, надежность которых изучается. Допустим, на автопредприятии эксплуатируется 300 автомобилей ЗИЛ-130. Мы наблюдаем за надежностью их термостатов. По разным причинам бывает трудно или даже невозможно следить за их поведением на всех машинах: иногда надо вынимать термостаты для осмотра, что не всегда удается осуществить, так как автомобили бывают в далеком рейсе. Тогда из всех автомобилей ЗИЛ-130 автопредприятия отбирают случайным образом часть машин, например 75 штук. Эта часть генеральной совокупности, которая попала на исследование, называется выборкой. С некоторой уверенностью можно судить о надежности всех 300 термостатов, т. е. генеральной совокупности, по их поведению в выборке. Эта уверенность тем выше, чем ближе друг к другу условия, в которых эксплуатируются машины; и чем больше машин в выборке. Само собой разумеется, что конструкция как автомобилей в целом, так и их двигателей и термостатов в генеральной совокупности и в выборке должны быть одинаковыми. Одинаковой должна быть и охлаждающая жидкость.

Данные, сведенные в таблице 1, и есть результат наблюдения за выборкой, когда 75 термостатов после определенной наработки отказали. Выборка, когда все поставленные на испытания объекты доработали до отказа, т. е. закончили испытания, называется полной. Если же испытания прекращены до того, как все изделия в выборке отказали, то последняя называется усеченной.

Покажем порядок определения важного показателя надежности, с помощью которого оценивается безотказность, — средней наработки до первого отказа (математическое ожидание наработки до первого, отказа):

t _ср = 1/75 [(5 1)+ (151) + (250) + (355) + (4510) + (5516) +

+ (65 19) + (75 15) + (857) + (951)] = 61 тыс. км, т. е.

 

                                                            t ср=1/ N o(t 1 n 1+ t 2 n 2+…+t i n i +…+t r n r) = k t i n i                 (9.3)

i 1 N 0

 

где k – число интервалов.

Так как число отказов в интервале п_г называют весом, то определенное нами значение t _cpназывается средневзвешенным (смысл значка ^ будет объяснен дальше).

По мере увеличения наработки возрастает число отказавших изделий и убывает соответственно число работоспособных.

Подсчитаем накопленное число отказов г (ti) как сумму отказов в интервалах и соответственно число остающихся работоспособными изделий N(ti). Очевидно, что r(ti)+N(ti) =75. Изобразим графически изменение числа отказов от интервала к интервалу. Получим столбчатый график, который называется гистограммой (рис.

9.1).

Более полное, а главное, обобщенное представление о надежности дают не абсолютные, а относительные (удельные) значения полученных данных. Так, вместо абсолютных значений числа отказов в интервале п_г целесообразно подсчитать отношение ω_i = n_i/N₀, т. е. долю отказов в интервале, приходящуюся на одно изделие из числа находящихся под наблюдением. Это отношение называется частостью. Если разделить частость на длину интервала Δ t, то получим долю отказов в интервале, приходящуюся на одно испытываемое изделие и на единицу наработки, т. е. на одну тысячу километров

пробега. Эта удельная величина

                          f(t_i)=n_i/ ΔtN₀               (9.4)

называется оценкой плотности вероятности    наступления отказа   (оценка плотности распределения наработки до отказа). Рис. 9.1  Гистограмма распределения числа n, частости ω и плотности f (t) отказов в зависимости от наработки t

Так как для данного примера величины Δt и N _Qпостоянны, то высоты столбиков гистограмм п_i, ω_i и f(t_i) отличаются только масштабом.

Вместо выражения в абсолютных единицах накопленного числа рабоспособных к данному моменту наработки t_i изделий N(t_i) целесообразно использовать отношение 

 

                                            P ^ˆ (t_i)=N (t_i)/N ₀ = [ N ₀- r(t_i) ]/ N ₀= (N ₀- ni)/ N ₀,                       (9.5)

характеризующее на момент t_i наработки долю работоспособных изделий по отношению к находящимся под наблюдением (накопленная частость безотказной работы). Аналогично,соответствующая доля отказавших изделий (накопленная частость отказов) определится из отношения

 

                                                            F ^ˆ (t_i)=r (t_i)/N _o =1 -P (t_i) = ni/ N _o,                                (9.6)

Если увеличивать число испытываемых изделий, а величину интервала уменьшать (Δ t→ 0), то гистограмма, изображающая P(ti), сгладится и превратится в плавную линию, которую называют невозрастающей кривой убыли P(ti), (функция распределения безотказной работы). В плавную неубывающую кривую F(ti) (функция распределения отказов) обратится также гистограмма F(ti) То же самое будет с гистограммой, где показана оценка плотности вероятности наступления, отказа f(ti). Мы получим плавную кривую плотностивероятности наступления отказа f(ti) (рис. 9.2) (иначе — плотности распределения наработки до отказа). Значок ^показывает, что подсчитанный результат получен из статистической обработки опытных данных, т. е. из наблюдений за выборкой. Такой результат называют статистической оценкойплотности вероятности, или эмпирической, т. е. полученной из опыта плотностью вероятности.

 

Вернемся к гистограмме, изображающей f(t_i) (рис. 9.2). Площадь каждого столбика равна его высоте f(t_i), умноженной на длину Δ t,

 

                                                                                                             f ˆ(t _i ) t  n / N ₀                         (9.7)

Рис. 9.2. Распределение плотности отказов f(t): зависимость F(t) и Р(0 от f(t). Заштрихованная площадь соответствует величине оставшаяся — величине P(t)

 

 

т. е. частость. Так как сумма всех частостей равна 1, то и площадь всех

столбиков в относительных единицах также равна 1.

 

Сумма площадей столбиков от нуля до какой-то наработки t_i определяет выражение

 

                                                          n / N ₀ F ˆ(t _i )                                     (9.8)

 

Сумма площадей оставшихся столбиков определится из разности

 

                                                                           1 n / N ₀ P ˆ(t _i )                                            (9.9)

Но поскольку 

 

                                                                                        P ˆ(t _i ) F ˆ(t _i ) 1                                         (9.10)

Вероятностью безотказной работы P(t) называется вероятность того, что в пределах заданной наработки не возникнет отказ изделия. Статистически P(t) определяется отношением числа оставшихся работоспособных изделий N(t_i) к моменту наработки t_i к общему числу изделий N _O().

Аналогично оценка вероятности наступления отказа выражается уравнением (4). Таким образом, оценками вероятности без, отказной работы и вероятности наступления отказа являются накопленные частости безотказной работы и отказов. Площадь под кривой f(t) (рис. 9.2) на участке от 0 до t

 

t

                                             (t)dt F(t)            

      а площадь на участке от t 

 

                                                                         1 f (t) dt P (t)                                     (9.11)

t

Следовательно, сумма вероятностей безотказной работы и наступления отказа равна 1. Это следует также из того, что безотказность и появление отказа — события противоположные.

Интенсивность отказов невосстанавливаемых изделий есть отношение числа отказавших изделий в единицу наработки к числу изделий, безотказно работающих к рассматриваемому моменту наработки:

 

                                                                          ˆ (t _i ) n _t / tN (t _i )                                            (9.12)

 

Умножив и разделив правую часть на N _o, то получим

 

                                                                                          ˆ(t _i )  n ⁱ     N ⁰                                     (9.13)

tN ₀ N (t _i )

 

 

          Так как n _i / tN ₀           f ˆ(t _i ), а N (t _i )/ N ₀ P ˆ(t _i ),

 

то

                                                                                          ˆ(t _i ) f ˆ(t _i )/ P ˆ(t _i )

 

По определению

 

                                   ˆ(t)    n i           N (t i       t) N (t i)   N 0 P ˆ(t i       t) P ˆ(t i)

i

                                                         tN (t _i )          tN (t _i )

Интенсивность отказов определяется как вероятность отказа невосстанавливаемого изделия в единицу времени после данного момента времени при условии, что отказ до этого времени не возник.

Типичное изменение интенсивности отказов представлено на рис. 9.3. На графике четко видны участки:

I — участок приработки, на котором имеют место приработочныеотказы, вызываемые небрежностью в производстве, скрытыми дефектами, осадкой сопряженных поверхностей. Наиболее характерные из них применительно к двигателям — подтекание масла и охлаждающей жидкости в соединениях и уплотнениях, поломки пружин и мелких деталей и т. п. Эти отказы обычно бывают внезапными;

II — участок нормальной. эксплуатации. Интенсивность отказов, а значит, и их количество

tPˆ(t_i )N₀

Рис. 9.3. Типичное изменение интенсивности (t) и плотности f(t)

отказов в зависимости от наработки

t

сравнительно невелики. Здесь также наиболее характерные отказы внезапные;

III— участок износа; Хотя износ имеет место также на первых двух участках, он не проявляется в виде отказов, так как зазоры между трущимися деталями находятся в допустимых пределах. Этот участок характерен появлением постепенных отказов, вызываемых как собственно износом, так и другими выявляемыми со временем неисправностями: коррозией, усталостью, короблением. Не исключено, конечно, появление на этом участке и внезапных отказов. Наработка к моменту выхода на этот участок обычно определяет.общую долговечность изделия. На рис. 3 наряду.с кривой λ (t) изображена кривая плотности распределения наработки до отказа f(t). Из графика видно, что в начальный период кривые λ (t) и f(t) проходят близко друг от друга. Однако со временем абсолютное число отказов уменьшается и кривая f(t) на участке II снижается, так как становится все меньше работоспособных изделий. Это приводит к тому, что f(t) в конце участка III стремится к нулю. К концу III участка N(ti) стремится к нулю и, следовательно, K(t) стремится.

В первом случае имеют место статистические характеристики, которые называют также эмпирическими, а во втором — вероятностные. Разъяснение этих характеристик напечатано мелким шрифтом. Средняя наработка до отказа t _cpможет быть определена следующим образом:

 

                                                                    t ˆ ср t n i / N 0 0

Величину t _cpможно определить по площади под кривой P(t) на рис. 4 с учетом масштаба. Из этого следует, что при вероятности безотказной работы, выраженной на рис. 9.4 кривой 1, средняя наработка до первого отказа больше, чем в двух других случаях.

Варианты заданий для решения задачи.

               Варианты заданий                                                                      

вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Асп	250	300	200	250	300	150	200	250	350	300
N0	150	120	170	130	160	100	150	200	220	150
tmin	11	15	27	6	15	15	25	11	15	25
tmax	138	109	160	125	150	150	120	180	200	140

                                                                                          

вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Асп	325	390	260	325	390	195	260	325	455	390
N0	180	145	205	190	192	120	180	240	250	180
tmin	12	16	25	7	17	17	26	12	17	26
tmax	150	120	160	130	140	150	140	190	200	140

                                                                                          

вариант 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 А_сп 200 240 160 200 240 120 160 200 280 240 N₀ 120 96 136 150 128 110 120 160 176 120 t_min 10 7 21 5 14 14 19 11 15 25 t_max 130 110 158 110 145 146 120 180 200 140 Практическое занятие №10.