Методика расчета генератора твердотельного лазера с накачкой диодными матрицами.

 

Расчет лазерного генератора заключается в последовательном расчете накачки, усиления в резонаторе и теплового расчета.

Рассматриваемый нами лазер на гранате с неодимом работает по так называемой четырехуровневой схеме [38].

Схема основных энергетических уровней ионов неодима в матрице иттрий алюминиевого граната, участвующих в процессах накачки и генерации, приведена на рисунке 32а.

Рисунок32а - Схема энергетических уровней ионов неодима в матрице Y₃Al₅O₁₂

Первый уровень, называемый основным, соответствует минимально возможному значению энергии, которую могут иметь ионы неодима. Число ионов, имеющих минимальную энергию (находящихся на основном уровне), составляет большинство. Число ионов, находящихся на более высоких уровнях энергии, заметно меньше и оно подчиняется равновесному распределению Больцмана:

                                                                                            (0)

 - число ионов в единице объема, находящихся на уровне i; W_i — разность между энергией уровня i и энергией основного уровня; k = 1,38∙10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура кристалла, С _i - нормировочная постоянная. Обычно энергию основного уровня считают условно нулевой, тогда W_i будет просто энергией i -гo уровня. [39]

Предположим, что внутри кристалла распространяется свет с частотой, равной частоте перехода между рабочими уровнями 2 и 3. Он вызывает два процесса: вынужденного излучения ионов неодима, находящихся на уровне 3, и при этом к волне добавляется энергия излучения (усиление света), и процесс поглощения энергии волны ионами, находящимися на уровне 2 (рисунок 32а).

В нормальном состоянии число ионов на уровне 2 больше, чем на уровне 3, и поглощение волны превалирует над усилением, то есть свет ослабляется. Если кристалл облучается светом накачки, то под его воздействием ионы неодима сначала переходят на уровни (полосы) накачки 4, а затем быстро на метастабильный уровень 3, где задерживаются. При достаточной мощности накачки скорость поступления ионов на метастабильный уровень превысит скорость ухода их с этого уровня за счет спонтанных переходов. В этом случае будет происходить накопление ионов на метастабильном уровне и через какое-то время число ионов на уровне 3 превысит число ионов на уровне 2. В этом случае излучение резонансное переходу 3à2 при прохождении такой среды будет усиливаться.

Если усиление света превосходит его суммарное ослабление за счет поглощения в среде и потерь на частичное пропускание выходного зеркала резонатора, то возникает генерация и лазер начинает излучать свет с частотой равной частоте перехода 3à2. Очевидно, что мощность излучаемого света тем выше, чем выше мощность света накачки и чем меньше потери света внутри резонатора.

 

 

Расчет накачки.

В нашем распоряжении имелась активная среда YAG-Nd³⁺, имеющая следующие параметры:

- поперечное сечение 3х3 мм;

- длина l = 30 мм и диодные матрицы с размером излучающей области 5х25 мм и пиковой мощностью излучения ~800 Вт при длительности импульса генерации 350 мкс. В этом случае удобно организовать поперечную накачку с концентрацией излучения на боковую грань активного элемента и продольную накачку с концентрацией излучения на торцевую грань активного элемента.

    В основе расчета накачки активной среды лежат две формулы:

 

        закон Бугера – Ламберта – Бера                           (1)  

и

          эффект насыщения поглощения                           (2)

где    I – интенсивность накачки (Вт/см²) при прохождении области активной среды на х (см) вглубь, I₀ – интенсивность накачки (Вт/см²) в начале области, α – коэффициент поглощения (см^-1), α₀ – линейный коэффициент поглощения (см^-1), когда I<<I_s, I_s – интенсивность насыщения (Вт/см²).

    Очевидно, что (1) и (2) – взаимосвязанные уравнения и их решение образует рекурсию по мере последовательной подстановки (1) в (2) и обратно. Физически это объясняется тем, что коэффициент поглощения уменьшается с ростом интенсивности света, а интенсивность увеличивается при уменьшении коэффициента поглощения. Такую систему удобно решать методом конечных итераций.

    Для этого разделим ширину прокачиваемой области кристалла на n областей (рис. 33) с шириной δ=a/n, где а – ширина кристалла.

Для расчета односторонней накачки активной среды основываемся на рассмотренном законе Бугера – Ламберта - Бера, которое записываем для последовательных шагов проводимого расчета δ и получаем следующие соотношения (3):

 

 

 

(3)

 

При введении в систему накачки второй диодной матрицы, накачивающей противоположную сторону кристалла, расчет значительно усложняется, так как появляется система из двух рекурсивных уравнений (4):

 

                                  (4)

    Теперь значение коэффициента поглощения α зависит не только от I₁ (интенсивность излучения первой матрицы), но и от I₂ (интенсивность излучения второй матрицы), которые, в свою очередь, тоже зависят от α.

Из системы уравнений (4) при их сложении следует уравнение (5):

                      (5)

                        (6)

При x=0 получаем:

,                              (7)

,                      (8)

 

Для других значений x, можно получить следующие выражения, используя метод итераций с шагом δ и количеством шагов n:

 

 ,                 (9)

     Полученная формула позволяет получить значение интенсивности накачки в любой части стержня. Очевидно, что поглощенная стержнем интенсивность I_p (от англ. «pumping» – накачка) является разностью между интенсивностью, падающую на стержень и интенсивностью, выходящей из стержня после его прохождения:

 

I_p = b ∙(I _пад - I _вых),                                          (10)

 

где b – количество диодных матриц (учитывая, что матрицы одинаковые и расположены симметрично относительно стержня).

 

I _пад = k ∙ I _дм,                                        (11)

 

где I _дм – интенсивность излучения диодной матрицы, k – коэффициент, характеризующий долю интенсивности, попадающую на стержень. Он зависит от геометрического расположения стержня в накачивающем пучке, паразитных отражений и качества полировки элементов оптической системы.

 

I _вых = I _{( n δ)} - I _пад  ,                                       (12)

 

где I _{( n δ)} – суммарная интенсивность на боковой грани стержня.

     Таким образом, подставив (11), (12) в (10), получим:

 

I_p=b∙(2∙k∙I _дм -I_{(n δ )}),                                 (13)

 

На основе представленных выражений формируем в среде MathCad цикл для проведения вычислений процесса при односторонней и двусторонней накачке алюмоиттриевого граната диодными матрицами.