Обобщенные позиционные задачи

Точка на поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии принадлежащей этой поверхности.

А Î Ф Þ А Î l; l Ì Ф

Для повышения точности и упрощения геометрических построений линия l должна на проекциях иметь наиболее простую геометрическую форму: прямой или окружности (по возможности).

ТОЧКА НА ЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Так как образующей линейчатой поверхности является прямая линия, то условие принадлежности точки линейчатой поверхности можно сформулировать как принадлежность точки образующей этой поверхности.

Построить недостающие проекции указанных точек, принадлежащих поверхностям, заданных определителями. Указать наименование поверхностей.

Ф{g(F,d)(FÎg, gÇd)}

 

ТОЧКА НА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Линейчатая поверхность.

На линейчатой поверхности вращения линия l, которой должна принадлежать точка, может иметь форму как прямой линии (образующая), так и окружности (параллель)

Нелинейчатая поверхность.

На нелинейчатой поверхности вращения линия l, которой должна принадлежать точка, должна иметь форму только окружности (параллели).

 

Пересечение поверхности плоскостью

Форма линии пересечения поверхности плоскостью определяется формой заданной поверхности и положением плоскости относительно этой поверхности.

Для кривой поверхности, в общем случае, линия пересечения - это плоская кривая линия.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

 

  При пересечении гранной поверхности плоскостью линия пересечения – это ломаная линия, каждый участок которой – отрезок прямой, представляющий собой линию пересечения грани поверхности (отсека плоскости) с секущей плоскостью, а точки излома – точки пересечения ребер гранной поверхности (отрезков прямых) с той же секущей плоскостью.

Следовательно, решение задачи на построение линии пересечения сводится к определению точек пересечения ребер гранной поверхности с принятой секущей плоскостью.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

 

Форма линии пересечения прямой круговой конической поверхности плоскостью определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности.

Ф – прямая круговая коническая поверхность.

Т – секущая плоскость.

Ф ∩ Т = m – линия пересечения.

   

       

 

  

 

В общем случае решение задачи на построение линии пересечения конической поверхности плоскостью сводится к определению точек пересечения образующих поверхности с принятой секущей плоскостью.

Положение точек на поверхности конуса определяется через образующие g(FA, FB) или по параллелям m (R).

 Радиус (R) параллели изменяется в зависимости от высоты положения точки на поверхности конуса (чем выше, тем меньше).

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

 

Форма линии пересечения прямой круговой цилиндрической поверхности плоскостью определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности.

Ф – прямая круговая цилиндрическая поверхность;

Т – секущая плоскость;

Ф ∩ Т = m – линия пересечения.

 

 

 

 

 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЬЮ

При пересечении сферической поверхности плоскостью фигура сечения всегда имеет форму окружности.

На проекциях фигура сечения может иметь форму окружности, эллипса или прямой линии, в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к той плоскости проекций, на которой строится проекция фигуры сечения.

Окружность, по которой плоскость пересечет сферу, проецируется на П₁ в виде эллипса. Для построения сечения используются не образующие, а параллели и меридианы. Две точки этого эллипса 1 и 2 – на главном меридиане. Точки 3 и 4 – на экваторе (они определяют видимость горизонтальной проекции сечения). Точки 5 и 6 определяют положение большой оси эллипса, длина которой равна диаметру окружности сечения, т.е. отрезок 5₁-6₁ равен отрезку 1₂-2₂.

 Остальные точки эллипса находятся на параллелях и берутся произвольно. Например, точки 7 и 8. Определим на фронтальной проекции радиус окружности параллели и построив её на горизонтальной плоскости проекций.

Пересечение прямой линии с поверхностью

 

Прямая пересекает поверхность, если она пересекает какую-либо линию, принадлежащую этой поверхности

l ∩ Φ ═ { K ¹, K ²,… };

{ K ¹, K ²,… }= l ∩ m;   m Ì Φ

Последовательность действий при построении точек пересечения прямой с поверхностью аналогична действиям, выполняемым при построении точки пересечения прямой линии с плоскостью, так как плоскость является одной из разновидностей поверхности.

         

          Последовательность действий при построении точек пересечения прямой линии с поверхностью

1. Определить вид заданной поверхности для выявления возможных простых форм сечений плоскостью (ломаная линия или окружность), и установить при каком положении секущей плоскости эти простые формы сечений могут быть получены.

2. Прямую l  заключить в выбранную секущую плоскость, например, Т.

l È Т

Наиболее часто применяют проецирующие плоскости. Для этого на эпюре нужно одну из проекций прямой l совместить с одноименной проекцией плоскости Т.                                  

Т ^ П _к Þ l _кº Т _к

1. Построить линию пересечения, например, m, заданной поверхности Ф и принятой вспомогательной плоскости Т. Так как рассматриваемая поверхность Ф является кривой, то и линия пересечения в общем случае будет кривой.

Т ∩ Ф = m { 1,2,3,… }

1. Определить точки пересечения { K¹, K²,… } прямой l и линии m.

l ∩ m = { K¹, K²,… }

1. Определить видимость участков прямой l.

 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

FABCD – четырехгранная пирамида.

Определить точки К ¹ и К ² пересечения прямой l с поверхностью пирамиды.

                        l ∩ Φ(FABCD) = { К ¹, К ²}

Заданная поверхность является гранной. При пересечении такой поверхности любой плоскостью фигурой сечения всегда будет многоугольник (ломаная линия). Поэтому применяем проецирующую вспомогательную секущую плоскость.

Заключаем прямую во фронтально-проецирующую плоскость.

Строим горизонтальную проекцию m₁, при условии, что m Ì Φ (FABCD); m {1,2,3,4};

 1 = FA ∩ T; 2= FB ∩ T; 3= FC ∩ T; 4= FD ∩ T.

Определяем  точки К¹₁ и К²₁ пересечения линии m₁ с l₁.   m₁ ∩ l₁ ={ K¹₁, К²₁}Строим фронтальные проекции К¹₂ и К²₂ точек К¹ и К².

Определяем видимость участков прямой l.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Задан прямой круговой конус.

Определить точки К¹ и К² пересечения прямой l с поверхностью конуса.                    l ∩ Φ = { К ¹, К ²}

 

У круговой конической поверхности есть две простые формы сечения плоскостью – две прямые (образующие) и окружность.

Заданная прямая – горизонталь. Следовательно, заключив прямую l в горизонтальную секущую плоскость перпендикулярную оси вращения конической поверхности, получим сечение в форме окружности.

Заключаем прямую lв горизонтальную плоскость уровня Т.

Строим проекции горизонтальную проекцию сечения.

Определяем точки пересечения сечения с прямой l.

Определяем видимость участков прямой l.

 

 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ С КОНУСОМ.

Через прямую провести плоскость, проходящую через вершину конуса. l È S(l; S) или S(a Ç b) 1. Построить горизонтальные следы C и D прямых: C= a ÇП1    D= b ÇП1 – прямая «m» 2. Построить сечение ELS: E= m Ç d, L= m Ç d. 3. K^1, K^2= ELS Ç l - точки пересечения прямой линии с сечением. Точки пересечения поверхности конуса с прямой линией. 4. Показать видимость прямой относительно поверхности конуса.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

1.Заключить прямую l в секущую плоскость, идущую вдоль образующих цилиндра.

l È S(l Ç а \\ g); прямая «a» проходит вдоль образующих цилиндра и пересекает прямую «l» в точке А.l È S(l Ç b \\ g) – «b» пересекает «l» в точка В.

2. с = S ÇФ – для построения сечения «с» определить положение горизонтальных следов прямых, образующих секущую плоскость (точки С и D). Прямая «m» пересекает основание цилиндра в точках Е, L. Построить сечение.

3. К¹,К² = l Ç с – определить точки пересечения прямой с цилиндром. Точки наложения прямой на сечение.

4. Показать видимость прямой относительно поверхности цилиндра.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТОРА С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ.

 

1. Заключить прямую l во фронтально проецирующую плоскость Т. 2. Построить сечение тора плоскостью Т,  задав точки на фронтальной проекции плоскости (1,2,3,4,5). 3. Измерить на фронтальной плоскости радиусы параллелей и начертить на горизонтальной плоскости окружности. Спроецировать точки на свои параллели. Соединить точки между собой. 4. Определить положение точек М и N (точки пересечения прямой с поверхностью тора).