Взаимно перпендикулярные прямые

1. Всякий плоский угол независимо от его величины (острый, прямой, тупой) проецируется на плоскость в натуральную величину в том случае, когда обе его стороны параллельны этой плоскости проекций.

2. Прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости проекций.                                                                                 

Прямая    n  параллельна плоскости проекций, а значит, её проекция равна истинной величине.

1. Построить две проекции горизонтали      2.  Построить две проекции фронтали

К истинным величинам построить перпендикуляр. На второй проекции перпендикуляра нет прямого угла

Плоскость   

      П лоскость – плоская поверхность.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ

 

     Т(А, В, С)       S(А, b)          D(a Ç b)            W(m 2 n)          F(ABC)

Изображение плоскости на эпюре 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскости общего положения - это плоскости не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций.

   Вывод:         Ни одна из проекций плоскости общего положения не имеет форму прямой линии (см. способы задания и изображение плоскостей).

 

 

Плоскости частного положения

    Проецирующие плоскости – это плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Горизонтально проецирующая плоскость -________________________________________

   

Фронтально проецирующая плоскость -____________________________________________

   

    Плоскости уровня – этоплоскости параллельные одной из плоскостей проекций.

Горизонтальная плоскость уровня  - _______________________________________________

    

Фронтальная плоскость уровня -__________________________________________________

   

Вывод: У плоскости частного положения одна из проекций обязательно имеет форму прямой линии.

Прямая линия и плоскость

Прямые в плоскости

  Прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадлежат этой плоскости

l (1,2)Ì Т  Þ (1 Î m; m Ì T) Ù(2 Î n; n Ì T)

или одна точка прямой принадлежит плоскости и она параллельна прямой лежащей в плоскости.

l (А, d)Ì Т Þ (А ÎT;) Ù(l II d; d Ì T)

В качестве примера плоскость Т задаем треугольником АВС. Требуется построить произвольную прямую l, принадлежащую плоскости Т.  

                    Первый вариант                                 Второй вариант                       

         

ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

К главным линиям плоскости относятся прямые уровня - горизонталь, фронталь, профильная прямая, и линии наибольшего наклона плоскости.

Прямые уровня плоскости

 1) Горизонталь плоскости – прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная горизонтальной плоскости проекций.

 2) Фронталь плоскости – прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций.

                              

 

Точка на плоскости

 

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости.

А Î Т Þ А Î l; l Ì T

Построить проекции произвольной точки А, принадлежащей плоскости Т (m, n)

Первый вариант                                                            Второй вариант

           

АÎ l; l(1, 2)Ì T; задаем (1Îm); (2În)                               AÎl; l(1, S) задаем (1În), (l||m)

Взаимное положение двух плоскостей

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

 

 

Через точку А провести плоскость Р параллельную плоскости Т.

 

T(aÇb);   P(cÇd); провести:  c || a Ù

 d || b Þ T || P

 

Пересекающиеся плоскости

Частный случай: одна из двух пересекающихся – плоскостей плоскость частного положения. Т – фронтально-проецирующая плоскость. Р (D АВС) – плоскость общего положения

                                        

Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая по отношению к плоскости может занимать следующие положения:

 Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости.

l ‖Ф Û l ‖ m; m ÌФ

 

 

Прямая пересекает плоскость, если она пересекает какую-либо прямую, принадлежащую этой плоскости.

l ∩Ф Û l ∩ m; m ÌФ    

 

 

Прямая принадлежит плоскости,  если она тождественна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости.       

l ÌФ Û l ≡ m; m ÌФ

 

 

Так как во всех представленных вариантах определения взаимного положения прямой и плоскости прямая рассматривается не по отношению к самой плоскости, а по отношению какой-то прямой, принадлежащей этой плоскости, то необходимо сформулировать способ нахождения такой дополнительной прямой.

Параллельность, пересечение и совпадение (тождественность) двух прямых возможно только при условии, что обе прямые лежат в одной общей плоскости.

 

 

Пример 1.	Пример 1. 1.Выбрано l 1≡ m 1 2. m (1,2); 1 = m ∩АВ; 2= m ∩ВС; 3. Строим m 2. 4. Определяем взаимное положение прямых m 2 и l 2          m 2 ≡ l 2 5. Следовательно, l Ì Ф
Пример 2.	Пример 2. 1.Выбрано l 2≡ m 2 2. m (1,2); 1 = m ∩АВ; 2= m ∩ВС; 3. Строим m 1. 4. Определяем взаимное положение прямых m 1 и l 1               m 1 2 l 1 5. Следовательно, l 2 Ф
Пример 3.	Пример 3. 1.Выбрано l 1≡ m 1 2. m (1,2); 1 = m ∩АВ; 2= m ∩ВС; 3. Строим m 2. 4. Определяем взаимное положение прямых m 2 и l 2          m 2 ∩ l 2 = К2 5. Следовательно, l ∩ Ф=К

 

 Поверхности

В качестве основного метода формирования поверхности принят кинематический.

Поверхность – это непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону

g  - образующая поверхности

d - направляющая поверхности

Если образующая является прямой, то поверхность линейчатая

Если образующая является кривой, то поверхность не линейчатая

 

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

  Образующая поверхности – прямая линия

С одной направляющей и вершиной (S) - ТОРСОВЫЕ поверхности 

         

Направляющая имеет форму кривой линии:

 

Ф{g(d,S)(g∩d, SÎ g)}-   ПОВЕРХНОСТЬ КОНИЧЕСКАЯ	Ф{g(d,s)(g∩d, gIIs)}–   ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ
S- реальная точка	S - несобственная точка Þ   s – направление проецирования

Направляющая имеет форму прямой линии. Поверхность плоская – ПЛОСКОСТЬ

                                                  

 

 

Направляющая имеет форму ломаной линии.          ГРАННЫЕ поверхности.

     Каждая грань – это ПЛОСКОСТЬ

    Линии пересечения граней – это РЕБРО

    Точки пересечения ребер – это ВЕРШИНА

             

               S- реальная точка. Ф{g(d,S)(g∩d, SÎ g)}- ПИРАМИДАЛЬНАЯ поверхность

 

  

       S - несобственная точка Þ s – направление проецирования.

       Ф{g(d,s)(g∩d, gIIs)}–   ПРИЗМАТИЧЕСКАЯ поверхность

 

                                                 

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

 

Основные элементы поверхности вращения

                                              

 

    

Поверхность вращения можно рассматривать как непрерывное множество точек,              принадлежащих образующей при её вращении вокруг оси.

НЕ ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

            Тор открытый             Тор закрытый             Сфера                           Глобоид

 

R < t - открытый тор          R > t – закрытый тор     t = 0 – сфера