Векторное произведение векторов

Определение. Упорядоченнаятройка некомпланарных векторов называется «правой», если кратчайший поворот от вектора  к вектору , когда смотрим с конца вектора , происходит против часовой стрелки. Если же этот поворот кажется происходящим по часовой стрелке, то тройка векторов называется «левой».

Тройка правая                           Тройка левая                              

 

Происхождение названия: если векторы  совпадают соответственно с большим, указательным и средним пальцами правой руки – тройка правая, если левой руки – тройка левая.

Смысл декартовой тройки  всегда должен соответствовать правилу винта: правый винт (раскручиваем вправо, вкручиваем влево)) – тройка правая, левый винт – тройка левая.

Определение. Векторным произведением векторов  и  называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) , 2)  , 3)  образуют правую тройку.    (1)

Обозначение  или .   

Геометрический смысл векторного произведения

Модуль векторного произведения   равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и .                                                          .                                          (2)                 

                          

Тогда площадь треугольника .

Механический смысл векторного произведения

1)

В

А

Пусть сила приложена к точке В. Тогда моментом силы относительно точки А называется вектор  такой, что , где вектор  - плечо АВ, .                             

 

2) Пусть материальная точка движется по окружности с центром в точке О,

M

O

- линейная скорость движения точки,  - радиус-вектор точки М. Тогда угловой скоростью материальной точки называется вектор  такой, что .                               

Свойства векторного произведения.

1. – коллинеарные векторы.                                       (3)

Частный случай:

2.   (Пояснение: из-за смены троек) (антиперестановочное)

3. Если  – действительное число, то

(Пояснение: если одну из сторон параллелограмма увеличить в λ раз, не меняя ее направление, то и площадь увеличиться в λ раз).

4. ,  Перемножаем, строго соблюдая порядок.

Таблица векторного умножения ортов

1/2

            

             

 

Векторное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами

 Два вектора  и  заданы своими декартовыми координатами. Разложим их по ортам : , .

Найдем векторное произведение данных векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

 = = .

Выражения в скобках получаются при вычислении определителей 2-го порядка, поэтому можно записать:  – разложение по первой строке определителя 3-го порядка:

                                                           –                                                     (4)                         

формула для нахождения векторного произведения векторов, заданных                                  своими декартовыми координатами.

Можем записать, что координаты вектора векторного произведения равны:

 

.

Примеры.

Пример 1. Векторы  и образуют угол . Зная , вычислить .

Решение. = .     Ответ: 15.

 

Пример 2. Даны , . Вычислить скалярное произведение векторов .                                 

Решение. Из свойства   выразим .

Из основного тригонометрического тождества следует, что .

Найдем : . По определению найдем скалярное произведение векторов: =

Пример 3. Векторы  и образуют угол . Зная , вычислить .                                                                                             

Решение.

3

= .

Пример 4. Даны два вектора  и . Найти координаты векторного произведения векторов  и .                                                

Решение.

Найдем координаты векторов , .

.              Ответ:

 

Пример 5. Сила  приложена к точке В (4, -2, 3). Определить момент этой силы относительно точки А (3, 2, -1) и его величину.                                                  

Решение.

Найдем вектор .

= .

.             Ответ:

Пример 6. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (2, -1, 2), В (1, 2, -1), С (3, 2, 1). Найти его площадь.

Решение.

Найдем векторы, на которых построен параллелограмм: ,  (векторы должны выходить из одной точки).

. Тогда  ед.кв..

  § 4. Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное , обозначается .

                                          Геометрический смысл смешанного произведения

                            по определению = пр .

                              , где - площадь параллелограмма, построенного

 

на векторах  и . Вектор  поопределению векторного произведенияперпендикулярен векторам  и , следовательно, перпендикулярен плоскости параллелограмма. Построим на векторах  параллелепипед. Тогда пр = h – это высота данного параллелепипеда для правой тройки векторов,  пр  – для левой. Отсюда, т.е. , где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Итак,

                                                             .                                                                        (1)

Свойства смешанного произведения.

1. .

При циклической перестановке множителей смешанное произведение не изменяется.

Данное свойство позволяет ввести новое обозначение смешанного произведения: , так как результат не зависит, как расставляются скобки.

2. Условие компланарности трех векторов:

компланарные векторы.                                                        (2)

Т.е. параллелепипед вырождается в часть плоскости с нулевым объемом.

3.   образуют базис во множестве векторов.                    (3)