П. 2. Действия над матрицами

Матрицы

П. 1. Основные определения

Определение 1. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Обозначают матрицу так:

Числа , из которых составлена матрица, называются ее элементами, где i – номер строки (), j – номер столбца , на пересечении которых стоит элемент a_{ij .}

Например, матрица размерности : , , , .

Определение 2. Матрица называется квадратной порядка n, если m = n, и прямоугольной размерности m на n, если m n.

В квадратной матрице

элементы , , …,  образуют главную диагональ, а элементы …,  – побочную диагональ.

Определение 3. Две матрицы называются равными, если их размеры совпадают и  соответствующие элементы равны.

, если a_ij = b_ij.

Определение 4. Транспонированной матрицей к матрице  называется матрица   размерности n m, которая получается из матрицы А путем замены строк столбцами с сохранением их номеров.

Например, , .

Определение 5.   Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Определение 6. Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали единицы, называется единичной, обозначается буквой Е: .

Определение 7. Квадратная матрица называется треугольной, лежащие по одну сторону одной из ее главных диагоналей – нули.

Определение 8. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:

 - матрица-строка,  – матрица-столбец.

Определение 9. Матрица, все элементы которой равны 0, называется 0-матрицей (нуль-матрицей) и обозначается буквой О

.

Определители

Определение 12. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается символом или   или   или   и вычисляется по некоторым правилам, в зависимости от размерности матрицы.

.

Правила вычисления определителей

1. Определитель квадратной матрицы порядка n = 1:

Пример.

2. Определитель квадратной матрицы порядка n = 2:

Пример. .

3. Определитель квадратной матрицы порядка n = 3:

+ + – – – –   правило треугольников (правило Саррюса), которое символически можно записать так:

=    –

                        (+)              (-)

Пример.

+ + – – – = – 10.

4. Определитель квадратной матрицы порядка n вычисляется либо разложением по строке или столбцу (методом понижения порядка), либо методом приведения к треугольному виду.

Рассмотрим вычисление определителя разложением по строке или столбцу (методом понижения порядка). Прежде, чем его рассмотреть, отметим ряд свойств определителя и дадим несколько определений.

Свойства определителя

1. Определитель не изменяется при транспонировании.

; .

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

; .

3. Если две строки (столбца) определителя совпадают, то он равен нулю.

.

4. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

2 .

5. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя есть нули, то det А = 0.

.

6. Если элементы двух строк (столбцов) взаимно пропорциональны, то det А = 0.

 

7. Если каждый элемент некоторой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель представляется в виде суммы двух определителей, у которых элементы рассматриваемой строки в первом определителе равны первым слагаемым, во втором – вторым. (Аналогично со столбцами). Например, .

.

8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить другую строку (столбец), умноженную на действительное число.

    Например, умножим первую строку на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки, результат поставим на место второй строки, а первую оставим без изменения:

.

9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.

Определение 13. Минором элемента определителя n- го порядка называется, определитель (n -1) порядка, получаемый вычеркиванием i- ой строки и j -го столбца, на пересечении которых элемент . Обозначается  или .

 

Определение 14. Алгебраическим дополнением элемента  называется число, вычисляемое по формуле .   

Пример. Найти , А ₁₃,  .

Решение.

Вычеркнем в определителе вторую строку и третий столбец, тогда минор

. . .

 

Понятие о ранге матрицы.

Пусть дана матрица А размером :

.

Выберем произвольно в этой матрице k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка . Определитель матрицы будем называть минором k -го порядка матрицы А.

 

Определение 17. Наивысший порядок отличных от нуля миноров называется рангом матрицы. Обозначается ранг матрицы  или .

Пример. Найти ранг матрицы ;

; ; .

При вычислении ранга матрицы переходят от вычисления миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если , то всякий отличный от нуля минор порядка называется базисным минором. Этот метод вычисления ранга матрицы называется методом окаймляющих миноров.

Второй способ основывается на элементарных преобразованиях матрицы. Элементарными преобразованиями называются следующие:

1. перестановка строк (столбцов),

2. умножение строки (столбца) на число, не равное нулю,

3. прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число,

4. вычеркивание нулевых строк (столбцов),

5. вычеркивание строки (столбца), являющегося линейной комбинацией других строк (столбцов).

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Если удастся путем элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидной форме, то ее ранг будет равен числу ее ненулевых строк.

 

При приведении матрицы к трапециевидной форме удобно пользоваться численным методом Гаусса:

 1) переставляя строки, добиваемся, чтобы  и , последнее можно достичь (если в первом столбце нет единиц) путем деления всей строки на . Первую строку называют рабочей, а элемент – ведущим.

2) умножаем первую строку на числа (), где , прибавляем ее соответственно ко второй и т.д. m-ой строке, получаем в 1-ом столбце под   нули.

3) не трогая первой строки, добиваемся, чтобы  и  путем деления всей строки на или путем перестановки строк. Теперь вторая строка стала рабочей, а элемент – ведущим.

4) умножаем вторую строку на числа (), где , прибавляем ее соответственно к третей и т.д. m-ой строке, получаем во 2-ом столбце под   нули.

5) и т.д.

Пример. Найти ранг матрицы .                                                                         Решение.

~ (меняем строки местами)   ~ (первую строку прибавляем ко второй) ~ (первую строку умножаем на (-2) и прибавляем к третьей) ~ (прибавляем ко второй строке третью)   ~ ,

в матрице две ненулевые строки, следовательно, .

Системы линейных уравнений.

П. 1. Основные понятия.

 

Определение 18. Система уравнений вида

 (*)

 называется системой m линейных уравнений с n неизвестными , , …, .

Если все b_i = 0 (i = 1, 2, 3,…, m), то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы. Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

 – матрица системы,  – расширенная матрица системы,

 – столбец свободных членов,  – столбец неизвестных.

Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: .

 

Определение 19. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 20. Система называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если решений более одного.

Определение 21. Решением системы (*) называется всякая совокупность чисел , , …, , которая, будучи подставлена в систему (8) вместо неизвестных , , …, , обращает все уравнения системы в тождества.

Элементарные преобразования системы (только над строками):

1. перестановка уравнений,

2. умножение уравнения на число, отличное от нуля,

3. прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного на число.

Выполняют элементарные преобразования над расширенной матрицей системы и лишь над строками, так как перестановка столбцов соответствует переобозначению неизвестных.

Пп. 1. Метод Крамера

 (для решения неоднородных систем, когда )

 

Теорема Крамера.

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Или в матричной форме .

Умножим обе части уравнения   слева на матрицу , получим , поскольку  и , то

–

– матричный способ решения системы.

Формулы Крамера.

  Если определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

, , …, ,

где

 –

– определитель матрицы системы,

 –

– определитель, полученный из определителя  заменой   j -го столбца столбцом свободных членов, .                                                                                                

Пример 1. Решить систему уравнений: .

Решение. а) Решим систему по формулам Крамера. Найдем определитель матрицы системы: , следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем определители :

, , .

Найдем решение системы по формулам Крамера:

, , .

Ответ: (1, 3, 5).

б) Решим систему матричным способом. Найдем обратную матрицу по формуле .

  

 

   

;

 

=

Решение неоднородных систем, когда

Пп. 2. Метод Гаусса

Решение неоднородных систем

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных алгебраических систем является метод Гаусса, который состоит в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система неоднородных уравнений

 

Процесс решения состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

где . Коэффициенты  называют главными коэффициентами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Прямой ход:

Будем считать, что элемент ; (если , то первым в системе запишем то уравнение, в котором коэффициент при  отличен от 0).

Преобразуем систему, исключив неизвестное  во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на  и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на  и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

Здесь ,  – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное  из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока возможно.

Если в процессе решения появляются нулевые уравнения, т.е. уравнения вида , их отбрасывают. Если же появляются уравнения , а , то это говорит о том, что система несовместна.

Обратный ход заключается в решении ступенчатой системы уравнений, которая, вообще говоря, имеет бесконечное множество решений. В последнем уравнении выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные . Затем подставляем значение  в предпоследнее уравнение системы и выражаем  через  и т.д. Придавая свободным неизвестным  произвольные значения, получим бесчисленное множество решений.

Замечание 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. , то система имеет единственное решение.

Замечание 2. На практике удобнее работать не с системой, а с расширенной матрицей системы (пример см. в методичке Парыгина и др. ч.2, стр. 13).

 

Примеры.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений    двумя способами.

Решение.

1. Метод Гаусса.

~     ~     ~     ~

~        ~

Система имеет единственное решение. Найдем его, для этого запишем полученную матрицу в виде системы линейных уравнений:

.  

Отсюда .

Ответ: .

2) Формулы  Крамера.

Найдем определитель матрицы системы: , следовательно, существует единственное решение. Найдем определители :

, , .

По формулам Крамера решение системы имеет вид:

, , .

Ответ: .

 

Глава 2. Векторная алгебра.

Векторы.

П.1. Основные определения.

Существуют скалярные и векторные величины. Скалярные характеризуются своим численным значением (например, температура, работа, плотность,…), а векторные, кроме численного значения, обладают также направлением в пространстве (например, сила, скорость,…).

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок  с начальной точкой А и конечной В.    

В

Определение 2. Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка . Обозначается .

Задать вектор – это значит задать его модуль и направление в пространстве.

Определение 3. Вектор  называется единичным, если  =1. Вектор  называется нулевым или нуль-вектором, если . Нулевой вектор  имеет любое направление.

Определение 4. Векторы  и называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, обозначаются . Векторы  и называются сонаправленными, если они параллельны (лежат на одной или параллельных прямых) и имеют одинаковое направление, если при этом направление не совпадает, то векторы называются противоположно направленными.

 – сонаправлены. – противоположно направлены.

Определение 5. Векторы  и называются равными, если .

Определение 6. Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с вектором , называется ортом вектора  и обозначается , если .

 

Определение 7. Вектор, выходящий из начала координат, называется радиус-вектором.

Определение 8. Векторы, лежащие в одной плоскости (параллельные одной плоскости), называются компланарными.

Определение 9. Если , векторы называются ортогональными.

 

 

С помощью параллельного переноса векторы можно перемещать в любое место пространства.

Вычитание векторов.

Определение 10. Противоположным вектором к вектору  называется вектор , причем .

Вычесть вектор, значит прибавить противоположный.

 

а) Правило параллелограмма.

 

 

б) Правило треугольника  

 

Вывод из 1 и 2: векторы суммы и разности векторов направлены по диагоналям параллелограмма, построенного на векторах  и .

 

Таблица скалярного умножения ортов

             Углы , , , , ,

             ; тогда ; длины ортов равны .

                 Пользуясь определением скалярного произведения, составим таблицу скалярного произведения векторов :

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

         

 

Примеры.

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов  и , если известно, что .   

Решение.

–84.

Пример 2. Даны вершины треугольника АВС, где А (–1, –2, 4), В (–4, –2, 0), С (3, –2, 1). Определить его внутренний угол α при вершине В.

Решение.

Угол при вершине В образуют векторы  и , , . Длины векторов равны , тогда по формуле (6): = , то есть α = 45⁰.

Пример 3. Проверить перпендикулярность векторов  и .

Решение. . Найдем , то есть векторы не перпендикулярны. 

 

Таблица векторного умножения ортов

1/2

            

             

 

Примеры.

Пример 1. Векторы  и образуют угол . Зная , вычислить .

Решение. = .     Ответ: 15.

 

Пример 2. Даны , . Вычислить скалярное произведение векторов .                                 

Решение. Из свойства   выразим .

Из основного тригонометрического тождества следует, что .

Найдем : . По определению найдем скалярное произведение векторов: =

Пример 3. Векторы  и образуют угол . Зная , вычислить .                                                                                             

Решение.

3

= .

Пример 4. Даны два вектора  и . Найти координаты векторного произведения векторов  и .                                                

Решение.

Найдем координаты векторов , .

.              Ответ:

 

Пример 5. Сила  приложена к точке В (4, -2, 3). Определить момент этой силы относительно точки А (3, 2, -1) и его величину.                                                  

Решение.

Найдем вектор .