Решение однородных систем методом Гаусса

Однородная система линейных уравнений

 

всегда совместна, так как она всегда имеет нулевое решение = = …=  = 0, которое называется тривиальным. Для этой системы справедливо, что .

 

Теорема Кронекера - Капелли для однородной системы:

1) если , то система имеет единственное решение – нулевое

2) если , то система имеет бесконечное множество решений, среди которых есть и ненулевые.

Пример. Решить систему линейных уравнений: .

Решение. Запишемматрицу системы:   ~    ~     

~     ~      ~ ,

отсюда т.к. три ненулевые строки. Количество неизвестных n = 4, т.е. , следовательно, по теореме Кронекера - Капелли система имеет бесконечное множество решений. Найдем его. Запишем полученную матрицу в виде системы уравнений:

.  

Система имеет три базисные неизвестные: , ,  и одну свободную .

Выразим базисные неизвестные через свободную переменную, начиная с последнего уравнения:

,

,       

  .

Ответ: Общее решение системы: . Частное решение системы при : .

Решение неоднородных систем методом Гаусса

Пример 1. Решить систему уравнений: .

Решение.      ~     ~     ~

~    ~ .

Проверим условия теоремы Кронекера-Капелли: , следовательно, система имеет единственное решение. Найдем его. Запишем полученную матрицу в виде системы уравнений:

. Отсюда .

Ответ: {(1, 3, 5)}.

Пример 2. Решить систему уравнений: .

Решение.      ~     ~    ~    ~

~ . Проверим условия теоремы Кронекера-Капелли: то есть, , следовательно, система не имеет решений.

Ответ: .

Примеры.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений    двумя способами.

Решение.

1. Метод Гаусса.

~     ~     ~     ~

~        ~

Система имеет единственное решение. Найдем его, для этого запишем полученную матрицу в виде системы линейных уравнений:

.  

Отсюда .

Ответ: .

2) Формулы  Крамера.

Найдем определитель матрицы системы: , следовательно, существует единственное решение. Найдем определители :

, , .

По формулам Крамера решение системы имеет вид:

, , .

Ответ: .

 

Глава 2. Векторная алгебра.

Векторы.

П.1. Основные определения.

Существуют скалярные и векторные величины. Скалярные характеризуются своим численным значением (например, температура, работа, плотность,…), а векторные, кроме численного значения, обладают также направлением в пространстве (например, сила, скорость,…).

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок  с начальной точкой А и конечной В.    

В

Определение 2. Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка . Обозначается .

Задать вектор – это значит задать его модуль и направление в пространстве.

Определение 3. Вектор  называется единичным, если  =1. Вектор  называется нулевым или нуль-вектором, если . Нулевой вектор  имеет любое направление.

Определение 4. Векторы  и называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, обозначаются . Векторы  и называются сонаправленными, если они параллельны (лежат на одной или параллельных прямых) и имеют одинаковое направление, если при этом направление не совпадает, то векторы называются противоположно направленными.

 – сонаправлены. – противоположно направлены.

Определение 5. Векторы  и называются равными, если .

Определение 6. Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с вектором , называется ортом вектора  и обозначается , если .

 

Определение 7. Вектор, выходящий из начала координат, называется радиус-вектором.

Определение 8. Векторы, лежащие в одной плоскости (параллельные одной плоскости), называются компланарными.

Определение 9. Если , векторы называются ортогональными.

 

 

С помощью параллельного переноса векторы можно перемещать в любое место пространства.