П.3. Проекции вектора. Расположение вектора в пространстве. Операции над векторами.

Определение 19. Проекцией вектора  на ось l называется число – длина вектора  этой оси, заключенного между проекциями a и b его начальной точки А и конечной точки В, взятая со знаком «плюс», если направление  совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если эти направления противоположны.

 

,  

 

 

Свойство 1. , где α – угол между вектором  и положительным направлением оси l.

Свойство 2. . Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Свойство 3. , где .

Определение 20. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.

, координаты вектора .

Если даны координаты точек A (x ₁, y ₁, z ₁), B (x ₂, y ₂, z ₂), то

 

Длина вектора находится по формуле:

.

Вектор   коллинеарен вектору  тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: , где λ – коэффициент пропорциональности. Если λ > 0, векторы сонаправлены (); λ < 0, векторы противоположно направлены ().

Ортами координатных осей (Ох), (О y), (О z) называются векторы  соответственно. .

Рассмотрим радиус-вектор , построенный на векторах  (по правилу параллелепипеда), причем , , :  (*).

Так как , то, подставив в (*),         получим

разложение вектора   по ортам (разложением по базису).

 

Пример. Найти разложение вектора  1) по базису векторов , 2) по базису векторов  и .

Решение.

1) Разложение вектора  по базису векторов имеет вид: .

2) Векторы   и  не коллинеарны, так как , следовательно, образуют базис. Вектор  представляет собой линейную комбинацию векторов  и : , где числа х и у – коэффициенты линейной комбинации. Найдем их. Для этого составим систему:

. Отсюда у = 5, х = 2.

Следовательно,   - разложение вектора  по базису векторов  и .

Проиллюстрируем пример. Изобразим векторы на плоскости.

                                                                           

 

 

 

По правилу параллелограмма найдем сумму двух векторов

 и :

 

Пусть α, β, γ – углы между вектором  и координатными осями, тогда в силу свойства 1 получим, что

Определение 21. Направляющими косинусами вектора  называются , где α, β, γ – углы между вектором  и координатными осями, причем , , .

Направляющие косинусы являются координатами орта вектора , т.е. .

Определение 22. Орт вектора называется нормированным вектором.

Определение 23. Даны два вектора  и , тогда координаты вектора их суммы и разности вычисляются по формулам:

, .

Определение 24. Произведением вектора  на действительное число λ называется вектор такой, что .

Замечание. Для вектора   n -мерного пространства справедливы все определения и теоремы.

Пример. Даны точки М ₁(2; 1), М ₂(–1;3) и вектор . Найти длину и направляющие косинусы вектора , координаты его орта, проверить коллинеарность векторов  и , найти координаты вектора  – 2 .

Решение.

Найдем координаты вектора .

.

Найдем направляющие косинусы: , .

Координаты орта: . Вектор называется нормированным вектором.

Проверим коллинеарность векторов: для коллинеарности должно выполняться условие . Проверим: , следовательно,  и  не коллинеарны.

Найдем координаты вектора  – 2 . Координаты вектора найдем по определению 24: , тогда по определению 23: – 2 .