Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Собственные векторы матриц. Собственные числа матриц. Характеристическое уравнение. Базис определяемый собственными векторами матрицы. ⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц: Собственными числами матрицы являются корни уравнения|А- λE| = 0и только они. Пусть столбец a - собственный вектор матрицы с собственным числом . Тогда, по определению, . Это равенство можно переписать в видеАа – л а = 0. Так как для единичной матрицы выполнено , то Аa –λEa = 0. По свойству матричного умножения (A –λE)a = Aa–λEa и предыдущее равенство принимает вид
Допустим, что определитель матрицыA – л E отличен от нуля, |A – л E|≠ 0. Тогда у этой матрицы существует обратная (A – л Е)^-1. Из равенства (А) получим, что а = (А – л Е)^-1 * 0 = 0, что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что | A – л Е| ≠ 0, неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения|А –л Е| = 0.
Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A, если Av = λ v, где число λ называется собственным значением матрицы A. Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v, сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v — собственный вектор, то и α v — тоже собственный вектор. Характеристическое уравнение матрицы — алгебраическое уравнение вида ; определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы А = || aik || n 1 вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так: , где S1 = a11 + a22 +... ann — т. н. след матрицы, S2 — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида (i < k) и т.д., а S n — определитель матрицы А. Корни Х. у. l1, l2,..., l n называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все l k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все l k чистомнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |l k | = 1. Базис, определяемый собственными векторами матрицы: Виды систем координат на плоскости. Уравнения связи декартовых и полярных координат. Примеры.
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Виды систем: прямоугольная (декартова) система координат и полярная. Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, масштабом осей. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Ох), другую — осью ординат (осью Оу).(рис.23). Единичные векторы осей обозначают i и j (| i |=| j |=1). Систему координат обозначают Оху, а плоскость, в которой она расположена, называют координатной плоскость. Рассмотрим произвольную т.М пл-ти Оху. Вектор ОМ называется радиусом-вектором т.М. Если ОМ=(x;y), то координаты т. Μ записывают так: М(х;у). Эти два числа x и y полностью определяют положение точки на плоскости. Полярная система координат задается т. О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Ор. Возьмем на плоскости т. М, не совпадающую с О. Положение т. М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24). Числа r и φ называются полярными координатами т. М, пишут М(r; φ), при этом r называют полярным радиусом, φ — полярным углом. Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (-; ] (или 0< φ < 2r), а полярный радиус — [0;∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно. Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось — с положительной полуосью Ох. Пусть x и у — прямоугольные координаты точки М, а r и φ — ее полярные координаты. Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом: Полярные же координаты т. М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами Определяя величину φ, следует установить (по знакам x и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что - < φ< .
28. Прямая на плоскости. Виды задания прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах: Ах+Ву+С=0, где A, B и C — произвольные постоянные, причем A и B не равны 0 одновременно Способы задания прямой: 1)Задание с помощью зависимости у=у(х). 2)Параметрическое задание: х=х(t), у=у(t), где t-параметр. 3)Векторное задание r =r(t), где t- параметр. Прямые на плоскости: 1) у=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом k. 2)общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0. 3) уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y-yo=k(x-xo). 4)уравнение прямой, проходящей через две точки: . Если х1=х2, то урав-е имеет вид х=х1. Если у1=у2 уравнение прямой примет вид у=у1. 5)уравнение прямой в отрезках . 6)уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору А(х-х0)+В(у-у0)=0. Частные случаи расположения прямой: 1)если прямая проходит через начало координат, то b=0; 2) если прямая параллельна оси Ох, то у=b; 3) если прямая параллельна оси Оу, то х=const.
29.Прямая на плоскости. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности. Общее уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах: Ах+Ву+С=0, где A, B и C — произвольные постоянные, причем A и B не равны 0 одновременно. Угол между прямыми можно вычислить: I. Пусть прямые заданы с помощью ур-ий с угл. коэф. l1: y=k1x+b1; l2: y=k2x+b2 tg=(k2-k1)/(1+k2*k1) è1) если k1= k2, то прямые параллельны; 2)если k2k1= -1, то прямые перпендикулярны; 3)если k1≠k2, то прямые пересекаются II. Пусть прямые заданы с помощью общих уравнений: tg=(А1В2-А2В1)/(А1А2-В1В2) è 1)если А1В2= А2В1, то прямые параллельны; 2) если А1/А2= В1/В2=С1/С2, то прямые совпадают; 3) если А1А2+В1В2=0, то прямые перпендикулярны; 4) если А1В2≠А2В1, то прямые пересекаются. 30.Прямая на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Общее уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах: Ах+Ву+С=0. Угол между прямыми tg=(А1В2-А2В1)/(А1А2-В1В2) Уравнение прямой с угловым коэф. у=kx+b. Угол между прямыми tg=(k2-k1)/(1+k2*k1). Расстоянием от точки до прямой называется перпендикуляр опущенный из этой точки на данную прямую. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1: Либо такая формула
31.Кривые второго порядка. Канонические уравнения, графики, определения. Кривая называется кривой (линией) второго порядка, если она определяется уравнением второй степени относительно текущих координат х и у, т.е. уравнением вида Аx2 + 2Вxy + Сy2 + 2Dx + 2Еy + F = 0. К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола. 1) Окружностью радиуса R с центром в т. М0(х0;у0) наз-ся множество всех таких точек пл-ти М, что расстояние М0М всегда одно и то же и равно R. Каноническое уравнение (x – х0)2 + (y – у0)2 = R2 2) Эллипсом наз-ся множество всех точек на пл-ти, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой пл-ти, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Канонич.ур-е эллипса 3) Гиперболой наз-ся множество всех точек пл-ти, модуль разности расстояний от каждой до двух данных точек пл-ти, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Канонич. ур-е гиперболы:
4) Параболой наз-ся множество всех точек пл-ти, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы наз-ся параметром параболы и обозн-ся р. Канонич. ур-е параболы у2=2рх (парабола симметрична оси Ох) х2=2ру (симметрична оси Оу) у2= -2рх (имеет фокус F(р/2;0) и директрису х= -р/2) х2= -2ру (имеет фокус F(0;р/2) и директрису у= -р/2 32.Плоскость в трехмерном пространстве. Виды задания пл-тей. + + =1 Виды: 1. Ур-ие плоскости проходящий через данную точку перпендикулярен заданному вектору. A(x-x̥)+ B(y-y̥)+ C(z-z̥)=0 2. Общее ур-ие плоскости Ax + By +Cz +D=0 Частные случаи: 1 D=0, пл-ть проходит через начало координат. 2 С=0, Oz и пл-ть параллельны 3 С= D=0 проходит через ось Oz 4 А=В=0 пл-ть параллельна пл-ти Oxy 5 А=В=D=0 пл-ть совпадает с пл-тью Oxy 3. Ур-ие пл-ти в отрезках x/a + y/b + z/c =1 нормальное ур-ие пл-ти xcos+ ycos + zcosµ –p=0
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-10-24; просмотров: 221; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.2.15 (0.016 с.) |