Билет 18. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение СЛОУ.

Линейно независимые решения F1, F2, Fn,…, Fk.

 

Система ЛУ(лин ур-ий)называется однородной, если все свободные члены этой системы =0. Однородная система уравнений в векторной форме имеет вид: 

A 1 x 1+ A 2 x 2+…+ Anxn =0, а в векторно-матричной форме- AX=0, где A=(A1, A2,…, An)

Однородная система уравнений AX=0 обладает след свойствами: 1- Если К1 и K2-решения однородной системы, то К1 +К2 явл решением системы. Действительно по условию АК1=0 и АК2 =0. Отсюда следует, что А(К1+К2)=АК1+АК2=0+0=0. 2-Если К –решение однородной системы, то LK-решение этой системы (L-число). Из АК=0 следует, что А (LK)=L(AK)=L0=0. Из этих свойств вытекает, что любая линейная комбинация решения однородной системы линейных уравнений является решением этой системы.

a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n xn = 0

a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n xn = 0

… … … … … … … … … … …

am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn = 0

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

и операторного уравнения

^ Ax = θ

Система всегда совместна, так как:

3. имеет очевидное решение x ₁⁰ = x ₂⁰

4. = … = x_n ⁰ = 0, которое называется нулевым, или тривиальным;

5. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

Алгоритм построения фундаментальной системы решений однородной системы ур-ий A1x1+A2x2+…+Anxn=0, у которой ранг r системы векторов A1, A2, …, Аn меньше числа n-неизв. 1 -найти общее решение однороднйо системы ур-ий, 2 -выписать диагональную систему(n-r) –мерных векторов:Е1=(1,0,…,0), Е2=(0,1,…,0),…, Еn-r=(0,0,…,1), где r-число разреш неизв в общем решении, а n-число неизв в сис-ме. 3- подставить в общее решение вместо своб неизв координаты вектора E1, а затем найти значение разреш неизв. Полученная совок-сть значений неизв опред-ет решение F1. 4- Аналогично с помощью

векторов Е2, …, Еn-r найти решение F2,…, Fn-r. 5- Получ реш-ия F1, F2, …, Fn-r обр-ют ФСР. ФСР= С1 L 1+ C 2 L 2+…+ CkLk = X общее однородн      (k=n-r, с-const).

Общее решение сис-мы m-линейн ур-ий   с n-неизв=сумме общего реш-ия соответств ей сис-ме однор лин ур-ий и произв частного реш-ия системы Xобщее=Xчастное+Xоднор. Общее =Xчастное +С1L1+…+СkLk

 

Билет 19.Модель межотраслевого баланса Леонтьева. Основные соотношения. Примеры задач.

В 1930-е годы Василий Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры для исследования экономики США. Метод стал известен под названием «затраты — выпуск». Если матрица Е-А явл невырожденной (det

                                                             -1                                                                                                                                     -1

не равен 0), то сущ-ет ей обратная Е-А. X=AX+Y; X-AX=Y; (E-A)*X=Y; X=(E-A) *Y (E-A= S); X=S*Y, где S-матрица полных затрат. Sij=xi- объем продукции.

Пример расчета межотраслевого баланса

Рассмотрим 2 отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь требуется для производства стали, а некоторое количество стали — в виде инструментов — нужно для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т стали нужно 3 т угля, а для 1 т угля — 0,1 т стали.

Отрасль	Уголь	Сталь
Уголь	1	3
Сталь	0.1	1

Мы хотим, чтобы чистый выпуск угольной промышленности был (200 000) тонн угля, а чёрной металлургии — (50 000) тонн стали. Если каждая из них будет производить лишь и тонн, то часть продукции будет использоваться в другой отрасли.

Для производства тонн стали требуется (150 000) тонн угля, а для производства тонн угля нужно (20 000) тонн стали. Чистый выход будет равен: (50 000) тонн угля и (30 000) тонн стали.

Нужно дополнительно производить уголь и сталь, чтобы использовать их в другой отрасли. Обозначим x ₁ — количество угля, x ₂ — количество стали. Валовый выпуск каждой продукции найдем из системы уравнений:

Решение: 500 000 т угля и 100 000 т стали. Для систематического решения задач расчета межотраслевого баланса находят, сколько угля и стали требуется для выпуска 1 т каждого продукта.

x ₁ = 1,42857 и x ₂ = 0,14286. Чтобы найти, сколько угля и стали нужно для чистого выпуска т угля, нужно умножить эти цифры на . Получим: (285714;28571).

Аналогично составляем уравнения для получения количества угля и стали для выпуска 1 т стали:

x ₁ = 4.28571 и x ₂ = 1.42857. Для чистого выпуска т стали нужно: (214286; 71429).

Валовый выпуск для производства тонн угля и тонн стали: (285714 + 214286;28571 + 71429) = (500000;100000).