Системы лин. Ур-ий. Реш-ие сист. Лин. Ур-ий. Теорема кронекера-капелли.

Теорема Кронекера-Капелли:

СЛАУ совместна (имеет одно решение), тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной.

Теоремы:

1.Если ранг совместной сисемы равен числу неизвестных, т.е. r=n, то системы имеет единственное решение.

2. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

 

Решение систем лин. ур-ий:

1. Найти ранг основной и расширенной матрицы системы. Если ранг основной матрицы отличен от ранга расширенной, то согласно теории Кронекера- Капелли, матрица несовместная, нет решений.

2. если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна:1) найти какой-либо базисный минор порядка (тот минор, который определяет ранг);

2)Взять r-уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор. Неизвестные коэффициенты которых входят в базисный минор называются главными и остаются слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правую часть ур-ий.

3. Найти выражение главных неизвестных через свободные, получено общее решение.

4.Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

14. Решение невырожденных систем линейных ур-ий. Теорема Крамера. Привести пример решения СЛАУ методом Крамера.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Метод Крамера:

Этот метод применятся для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений   и число неизвестных   совпадают и матрица  системы – невырожденная. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений   и число неизвестных   совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам         

() - формулы Крамера

где , а  – определитель, получаемый из определителя   заменой его -го столбца на столбец свободных членов.

ПРИМЕР. Решить методом Крамера систему:

Так как число уравнений и число неизвестных в системе совпадают, и определитель матрицы системы , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Имеем:

, .

Следовательно,        , .

Если кол-во ур-ий не равно кол-ву неизвестных, то систему решать методом Гауса.

15. Решение систем лин. ур-ий методом обратной матрицы. Условие существования данного решения. Решение ур-ий вида АХ=В,ХА=В,АХВ=С.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Обратной к матрице   называется матрица, обозначаемая , такая, что .

СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

1) Если матрица   имеет обратную, то  и  – квадратные одного порядка.

Действительно, чтобы существовали произведения   и   необходимо, чтобы матрицы   и   имели соответственно размеры   и . Тогда матрица   будет иметь размер , а матрица  – размер . Но для равенства   необходимо, чтобы размеры матриц   и   совпадали, т.е. .

2) Если обратная матрица существует, то она единственная.

Действительно, если предположить, что существует две матрицы   и   обладающие свойством

и ,

то будет существовать и произведение , причем

и .

Следовательно, .

3) Если матрица   имеет обратную, то определитель матрицы   отличен от нуля.

 

Действительно, так как   и для любых квадратных матриц   и , то

и, следовательно,   и .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.

Условие невырожденности матрицы   оказалось не только необходимым для существования ее обратной матрицы, но и достаточным.

Условие существования решения методом обратной матрицы.:

Матрица   имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель   отличен от нуля. Причем обратная матрица   может быть найдена по формуле:

                                                        ,

где  – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы , т.е.

.

Матрица   называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы .

Решение ур-ий вида АХ = В, ХА = В, АХВ = С

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.